椭圆焦半径公式及应用面面观

椭圆焦半径公式及应用面面观 在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。 一、椭圆焦半径公式 P 是椭圆 xayb2222＝1()ab 0 上一点，E、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PEaexP，（2）||PFaexP。 P 是椭圆 yaxbab222210() 上一点，E、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3） PEaeyPFaeyPP，( )||4。 以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。 （一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 例 1 已知点 P（x，y）是椭圆12222byax上任意一点，F1（-c,0）和 F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+xac；|PF2|=a -xac. 【分析】 可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消 y”即可. 【解答】 由两点间距离公式，可知 |PF1|=22)(ycx (1) 从椭圆方程12222byax解出 )(22222xaaby (2) 代（2）于（1）并化简，得 |PF1|=xaca  (-a≤x≤a) 同理有 |PF2|=xaca  (-a≤x≤a) 【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 r1=a+ex r2=a-ex (e= ac ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1 是x 的增函数，r2 是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）. （二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 例2． P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y 的解析式来表示 r1=|PF1|和 r2=|PF2|. 【分析】 问题是求r1=f（x）和 r2=g（x）.先可视 x 为参数列出关于r1 和 r2 的方程组，然后从中得出r1 和 r2. 【解答】 依题意，有方程组 ③)(②)...