椭圆经典例题分类汇总

1 椭圆经典例题分类汇总 1 .椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为02 ，A，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1 ）当02 ，A为长轴端点时，2a，1b， 椭圆的标准方程为：11422 yx； （2 ）当02 ，A为短轴端点时，2b，4a， 椭圆的标准方程为：11 6422 yx； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82 ka，92 b，得12 kc．由21e，得4k． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 a，82 kb，得 kc12． 由21e，得 4191 k，即45k． ∴满足条件的4k或45k． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8k与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程13522kykx表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由,35,03,05kkkk得 53 k，且4k． ∴满足条件的k 的取值范围是 53 k，且4k． 说明：本题易出现如下错解：由,03,05kk得 53 k，故k 的取值范围是 53 k． 2 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 0 ba这个条件，当ba 时，并不表示椭圆． 例4 已知1cossin22yx)0( 表示焦点在y 轴上的椭圆，求 的取值范围． 分析：依据已知条件确定 的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出 的取值范围． 解：方程可化为1cos1sin122yx．因为焦点在y 轴上，所以0sin1cos1． 因此 0sin且1tan从而)43,2( ． 说明：(1)由椭圆的标准方程知 0sin1，0cos1，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知cos12a，sin12 b． (3)求 的取值范围时，应注意题目中的条件 0 例5 已知动圆P 过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式． 解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点03，A和定圆圆心03...