《概率论》计算与证明题 69 第三章 随机变量与分布函数 1、直线上有一质点,每经一个单位时间,它分别以概率p 或p1向右或向左移动一格,若该质点在时刻0 从原点出发,而且每次移动是相互独立的,试用随机变量来描述这质点的运动(以nS 表示时间 n 时质点的位置)。 2、设 为贝努里试验中第一个游程(连续的成功或失败)的长,试求 的概率分布。 3 、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布:(1);,,2,1,)(NkNckf(2),,2,1,!)(kkckfk 0。 4、证明函数)(21)(||xexfx是一个密度函数。 5、若 的分布函数为 N(10,4),求 落在下列范围的概率:(1)(6,9);(2)(7,12);(3)(13,15)。 6、若 的分布函数为 N(5,4),求 a 使:(1)90.0}{ aP ;(2)01.0}|5{|aP。 7、设}{)(xPxF,试证)( xF具有下列性质:(1)非降;(2)右连续;(3),0)(F 1)(F。 8、试证:若1}{,1}{12xPxP,则)(1}{21xxP。 9 、设随机变量 取值于[0,1],若}{yxP 只与长度xy 有关(对一切10yx),试证 服从[0,1]均匀分布。 1 0 、若存在 上的实值函数)(Q及)(D以及)( xT及)( xS,使 )}()()()(exp{)(xSDxTQxf, 则称},{f是一个单参数的指数族。证明(1)正态分布),(20 mN,已知0m ,关于参数 ;(2)正态分布),(200 mN,已知0,关于参数m ;(3)普阿松分布 ),(kp关于 都是一个单参数的指数族。 但],0[ 上的均匀分布,关于 不是一个单参数的指数族。 1 1 、试证)2(22),(cybxyaxkeyxf为密度函数的充要条件为,0,0,02acbca 2back。 1 2 、若)(),(21yfxf为分布密度,求为使),()()(),(21yxhyfxfyxf成为密度函数,),(yxh必须而且只需满足什么条件。 1 3 、若),(的密度函数为 其它,00,0,),()2(yxAeyxfyx, 《概率论》计算与证明题 70 试求:(1)常数A;(2)}1,2{P;(3) 的边际分布;(4)}2{ P; (5) )|(yxf;(6)}1|2{P。 14、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。 15、设二维随机变量),(的联合密度为 ykkexyxkkyxp112121)()()(1),( yxkk0,0,021,试求与 的 边际分布。 16 、 ...