概率论与数理统计教程习题(第四章大数定律与中心极限定理)

1 习题10（切比雪夫不等式） 一．填空题 1. 设随机变量X 的数学期望)(XE，方差2)(XD，则由切比雪夫不等式，得)3(XP . 2. 随机掷6 枚骰子，用X 表示6 枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得)2715(XP . 3. 若二维随机变量),(YX满足，2)(XE，2)(YE，1)(XD，4)(YD，5.0),(YXR，则由切比雪夫不等式，得)6(YXP . 4. 设,,,,21nXXX是相互独立、同分布的随机变量序列，且0)(iXE，)(iXD一致有界),,,2,1( ni ，则)(lim1nXPniin . 二．选择题 1. 若随机变量X 的数学期望与方差都存在，对ba ，在以下概率中，（ ）可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。 ① )(bXaP； ② ))((bXEXaP； ③ )(aXaP； ④ ))((abXEXP. 2. 随机变量X 服从指数分布)(e，用切比雪夫不等式估计)1(XP （ ）. ① ； ② 2 ③ 4； ④ 1. 2 三．解答题 1. 已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若7300)(XE，2700)(XD，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。 2. 如果nXXX,,,21是相互独立、 同 分 布 的随机变量序 列 ，)(iXE，8)(iXD),,2,1(ni.记niiXnX11，由切比雪夫不等式估计概率)4( Xp. 3. 设,,,,21nXXX是相互独立、同分布的随机变量序列，0)(iXE，2)(iXD，)(4iXE存 在，且 一致 有 界),,,2,1( ni .对 任 意 实 数0，证 明1)1(lim122niinXnP. 3 11（特征函数） 一．填空题 1. 若随机变量X 服从正态分布)4,2(N，则 )3(XP . )40(XP ， )1( XP . 2. 若随机变量~X),(2N，且)()(cXPcXP，则c . 3. 若随机变量~X),2(2N，且3.0)42( XP，则 )0(XP . 4. 若X 服从正态分布),(2N，记)(kXkP. 当9.0时，k ，当95.0时，k . 5. 随机变量21, XX相互独立，且都服从标准正态分布，记21432XXY， 则Y 概率密度 )(yfY . 二．选择题 6. 若随机变量nXXX,,,21相互独立，且),(~2NXi),,2,1(ni，则)1(1niiXnD（ ） ① 2； ② 2n； ③ n/2； ④ 22 / n. 7. 若随机变量YX ,相互独立，且都服从正态分布),(2N....