1 求函数极限的方法 1 . 预备知识 1 .1 函数极限的定义 定义1 设f 为定义在,a 上的函数,A为定数.若对任给的0 ,存在正整数Ma,使得当xM时有 f xA,则称函数f 当x 趋于 时以A 为极限.记作: limxf xA或 f xA x . 定义2 设函数f 在点0x 的某个空心邻域00; 'Ux 内有定义,A为定数,若对任给的0 ,存在正数',使得当00xx时有 f xA,则称函数f当x 趋于0x 时以A为极限.记作: 0limxxf xA或 0f xA xx. 定义3 设函数f 在00; 'Ux (或00; 'Ux )内有定义,A 为定数.若对任给0 的,存在正数',使得当时00xxx(或00xxx)有 f xA,则称数A为函数f 当x 趋于0x (或0x )时的右(左)极限.记作: 00limlimxxxxf xAf xA 或 00f xA xxf xA xx. 1 .2 函数极限的性质 性质1 (唯一性) 若极限 0limxxf x存在,则此极限是唯一的. 性质2(局部有界性) 若 0limxxf x存在,则f 在0x 的某空心邻域 00Ux内有界. 性质3 (局部保号性) 若 0lim0xxf xA(或0),则对任何正数rA(或rA ),存在 00Ux,使得对一切 ooxUx有 0f xr(或 0f xr ). 性质4 (保不等式性) 设 0limxxf x与 0limxxg x都存在,且在某邻域00; 'Ux 内有 f xg x,则 00limlimxxxxf xg x. 性质5 (迫 敛性)设 00limlimxxxxf xg xA,且在某邻域00; 'Ux 内有 2 f xh xg x,则 0limxxh xA. 性质6(四则运算法则) 若极限 0limxxf x与 0limxxg x都存在,则函数 fg,f g,当0xx时极限也存在,且 1. 000limlimlimxxxxxxf xg xf xg x; 2. 000limlimlimxxxxxxf xg xf xg x; 又若 0lim0xxg x,则fg 当0xx时极限存在,且有 3. 000limlim...