求函数极限的方法

1 求函数极限的方法 1 . 预备知识 1 .1 函数极限的定义 定义1 设f 为定义在,a  上的函数，A为定数．若对任给的0 ，存在正整数Ma，使得当xM时有 f xA，则称函数f 当x 趋于 时以A 为极限．记作： limxf xA或 f xA x  ． 定义2 设函数f 在点0x 的某个空心邻域00; 'Ux 内有定义，A为定数，若对任给的0 ，存在正数'，使得当00xx时有 f xA，则称函数f当x 趋于0x 时以A为极限．记作： 0limxxf xA或 0f xA xx． 定义3 设函数f 在00; 'Ux （或00; 'Ux ）内有定义，A 为定数．若对任给0 的，存在正数'，使得当时00xxx（或00xxx）有 f xA，则称数A为函数f 当x 趋于0x  （或0x  ）时的右（左）极限．记作：   00limlimxxxxf xAf xA 或  00f xA xxf xA xx． 1 .2 函数极限的性质 性质1 （唯一性） 若极限 0limxxf x存在，则此极限是唯一的． 性质2（局部有界性） 若 0limxxf x存在，则f 在0x 的某空心邻域 00Ux内有界． 性质3 （局部保号性） 若 0lim0xxf xA（或0），则对任何正数rA（或rA ），存在 00Ux，使得对一切 ooxUx有 0f xr（或 0f xr  ）． 性质4 （保不等式性） 设 0limxxf x与 0limxxg x都存在，且在某邻域00; 'Ux 内有  f xg x，则  00limlimxxxxf xg x． 性质5 （迫 敛性）设  00limlimxxxxf xg xA，且在某邻域00; 'Ux 内有 2    f xh xg x，则 0limxxh xA． 性质6（四则运算法则） 若极限 0limxxf x与 0limxxg x都存在，则函数 fg，f g，当0xx时极限也存在，且 1.     000limlimlimxxxxxxf xg xf xg x； 2.     000limlimlimxxxxxxf xg xf xg x； 又若 0lim0xxg x，则fg 当0xx时极限存在，且有 3.     000limlim...