3.4 基本不等式 a+b2 ≥√ab一、基本不等式：√ab≤a+b2 1、重要不等式：a 2＋b2≥2ab(a、bR) ∈“当且仅当 a ＝b”“”时 ＝ 成立。注意：（1“）不等式成立的条件是 a ＝b”，如果a 、b“”不相等，则 ＝ 不成立；（2 ）不等式的变形 ：①a b≤a2+b22 ②a b≤( a+b2)2 ③a2+b22 ≥( a+b2)2≥ab2(④ a 2＋b2)≥(a ＋b)22、基本不等式：a+b2≥√ab (a 、bR∈＋) “当且仅当 a ＝b”“”时 ＝ 成立。注意：（1）内容：a ＞0 ， b＞0“，当且仅当 a＝b”“”时 ＝ 成立；（2）其中a+b2叫做正数a 、b 的算术平均数，√ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。例 1：求证对于任意实数a ，b，c，有a 2＋b2＋c2≥a b＋bc＋ca ，当且仅当a ＝b＝c 时等号成立。 【证明】： a2＋b2≥2ab c2＋b2≥2bc a2＋c2≥2ac 2(a∴2＋b2＋c2) ≥2ab＋2bc＋2ac ，∴ a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca当且仅当 a＝b＝c 时等号成立。变式练习 1：若 0＜a ＜1，0＜b＜1，且a ≠b，则a ＋b，2√ab ，2a b，a 2＋b2 中最大的一个是（）A：a 2＋b2 B：2√ab C：2a b D：a ＋b变式练习 2：下列不等式：（1）x＋1x ≥2；（2）｜x＋1x ｜≥2；（3）若 0＜a＜1＜b，则 logab＋logba≤－2；（4）若 0＜a＜1＜b，logab＋logba≥2。其中正确的是_______________。1均值不等式推广：21a+ 1b ≤ √ab ≤ a+b2 ≤ √a2+b22 调和平均数 几何平均数 算术平均数平方平均数“当仅且当 a＝b”“”时 ＝ 成立。二、最值定理已知 x、y 都是正数。（1）如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2√ P，即 x＋y≥2√xy ；（2）如果和 x＋y 就定值 S，那么 x＝y 时，积 xy 有最大值S24 ，即 xy≤( x+ y2)2。利用基本不等式必须满足三个条件：“一正”、“二定”、“三取等”。应用一：求最值例 2：已知函数 f(x)＝3x＋12x (x≠0) （1）当 x＞0 时，求函数的最值；（2）当 x＜0 时，求函数的最值；【解析】：（1）当 x＞0 时，f(x)＝3x＋12x ≥2√3 x×12x ＝12当且仅当 3x＝12x ，即 x＝2“”时， ＝ 成立。（2）当 x＜0 时，－x＞0，f(x)＝3x＋12x ＝－(－3x＋12−x )≤－2√3 x×12x ≤－12，当且仅当－3x＝－12x 时，即 x＝－2“”时， ＝ 成立。变式练习：求下列函数的最值（1）y＝3x2...
