离心率的求法

第一篇圆锥曲线专题05离心率的求法一、求离心率值的问题求离心率的值需要构造一个含有 ,,abc或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了 ,ac的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。例 1：如图，12,F F是椭圆221:14xCy 和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AFBF为矩形，则双曲线的离心率为____________.【解析】关于共焦点的问题，c相等，在椭圆里面1224AF AFa在1 2RTAFF中满足222121 2+=AF AF FF ，解得12=2-2=2+2AFAF，则在双曲线中2,3ac，则62e例 2：设椭圆的两个焦点分别是12,F F，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。例 3：已知,AB为双曲线 E的左右顶点，点 M在 E上， ABM为等腰三角形且顶角为120，则 E的离心率为_________.上图中 A,B两点不是焦点，2AB a,且条件中没有 b和 c的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含 ,ab的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点 M的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。【解析】从 M点作 x轴的垂线，垂足为 C，因为2,60BMa MBC所以,3BC aMCa，所以点 M的坐标为(2,3)aa代入到双曲线中得2222(2) (3) 1aaab整理得2e例4：设12,F F分别是椭圆2222:1xyE ab 的左右焦点，过点1F的直线交椭圆E于A,B两点，11||3||AFBF，若23cos5AFB ，求椭圆E的离心率。【分析】题目有点像焦点弦中的关于倾斜角，离心率，比例的公式，但是不知道1 2AFF的余弦值，因此不能够直接用公式，题目给出的图像是两个焦点三角形，因此考虑从第一定义入手，题目中给出了另外一个角的余弦值，由于焦点三角形中三边中包含离心率所需的参数，结合三边长试一下余弦定理。例5：在平面直角坐标系 xoy中，双曲线22122C:1xyab 的渐近线与抛物线22C :2 (0)xpyp交于点,,O AB，若OAB的垂心为2C 的焦点，则1C的离心率为____________.【解析】题目中未出现焦点三角形，则与定义无关，且A...