笔算开立方和N次方

今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。 在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。它是这么写的： 在这里，我“定义”a^b=a 的 b 次方。 (10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b) a 代表的是已经计算出来的结果，b 代表的是当前需要计算的位上的数。在每次计算过程中，100a^2 都 被 减 掉 ，剩 下 b(20a+b) 。 然 后 需要做 的 就 是 找 到 最 大 的 整 数 b' 使b'(20a+b')<=b(20a+b)。 因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。 (10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a%2 笔算开立方 一天，我遇到了一道需要用到 3 10 的近似值的物理题。我没带计算器或《中学数学用表》，只好逐个计算一些数的立方，并与10 比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。这促使我寻求笔算开立方的方法。 笔算开平方的方法我是掌握的。我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下： 1． 将被开方数的整数部 分 从 个位起 向 左 每两 位分 为 一组 ； 2． 根 据 最左 边 一组 ，求得 平方根 的最高 位数； 3． 用第一组 数减去平方根 最高 位数的平方，在其 差 右边写上第二组数； 4． 用求得的最高位数的20 倍试除上述余数，得出试商。再用最高位数的20 倍与试商的和乘以试商，若所得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若大于，就减小试商再试。 5． 用同样方法继续进行下去。 类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1 步中的“两”应改为“三”，第2、3 步中的“平”应改为“立”，而第5 步不变化。关键是第4 步如何进行。 当天晚上，我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2，完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。于是我猜想“20 倍”应该与“2ab”有关。我先后想出了几种可能的方法，经检验，都是行不通的。那么我有必要分析笔算开平方的本质。 以两位数ab为例，2ab = (10a+b)2=100a2+20ab+b2。这里a 代表平方根的最高位数，b 代表试商。事实上，100a2已在第3 步里被减去了。那么剩下的就是20ab+b2，即(20a+b)·b，也就是“求得的最高位数的20 倍...