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极限计算方法总结

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极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分.求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述).说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;;;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明.2.极限运算法则定理 1 已知 ,都存在,极限值分别为 A,B,则下面极限都存在,且有 (1)(2)(3)说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用.3.两个重要极限(1) (2) ; 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。例如:,,;等等.4.等价无穷小定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是 0).定理 3 当时,下列函数都是无穷小(即极限是 0),且相互等价,即有:~~~~~~ 。说明:当上面每个函数中的自变量 x 换成时(),仍有上面的等价关系成立,例如:当时, ~ ; ~ .定理 4 假如函数都是时的无穷小,且~,~,则当存在时,也存在且等于,即=。5.洛比达法则定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的极限都是 0或都是无穷大; (2)和都可导,且的导数不为 0; (3)存在(或是无穷大); 则极限也一定存在,且等于,即= 。说明:定理 5 称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“"型或“"型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件.6.连续性定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即假如是函数的定义去间内的一点,则有 。7.极限存在准则 定理 7(准则 1) 单调有界数列必有极限.定理 8(准则 2) 已知为三个数列,且满足:(1) (2) , 则极限一定存在,且极限值也是 a ...

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