函数的定义域和求法讲解VIP专享

函数 一、 函数的定义域与求法 1、 分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0； 2、 对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0 且≠1； 3、 正切函数：x ≠ kπ + π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠ kπ ,k∈Z ； 4、 一次函数、二次函数、指数函数的定义域为 R； 5、 定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法； 6、 复合函数定义域的求法：推理、取交集与分类讨论．[例题]：1、 求下列函数的定义域3、已知函数 y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为 R，数 m 的取值围．[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论] 当 m=0 时，则 mx2-4mx+m+3=3，→ 原函数的定义域为 R； 当 m≠0 时，则 mx2-4mx+m+3＞0， ①m＜0 时，显然原函数定义域不为 R； ②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0 时，即０＜m＜１，原函数定义域为 R， 所以当 m∈[0,1) 时，原函数定义域为 R．4、求函数 y=log2x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域．[解析]：［求原函数的值域］ 由题意可知，即求原函数的值域， x≥4, ∴log2x≥2 ∴y≥3 所以函数 y=log2x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)．5、 函数 f(2x)的定义域是[-1，1]，求 f(log2x)的定义域．[解析]：由题意可知 2-1≤2x≤21 → f(x)定义域为[1/2，2] → 1/2≤log2x≤2 → √￣2≤x≤4．所以 f(log2x)的定义域是[√￣2,4]．二、 函数的值域与求法 1、 一次函数 y=kx+b(k≠0)的值域为 R； 2、 二次函数的值域：当 a＞0 时，y≥-△/4a ，当 a＜0 时，y≤-△/4a ； 3、 反比例函数的值域：y≠0 ； 4、 指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为 R； 5、 正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为 R； 6、 值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．[例题]：：求下列函数的值域 [解析]：1、[利用求反函数的定义域求值域] 先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中 x≠2， 由其反函数的定义域，可得原函数的值域是 y∈{y∈R|y≠2} 2、[利用反比例函数的值域不等于 0]由题意可得， 因此，原函数的值域为[1/2,+∞) 4、[利用分离变量法和换元法] 设法 2x＝t，其中 t＞0，则原函数可化为 y=(t+1)/(t-1) → t=(y+1)/(y-1) ＞０ ∴y>1 或 y<-1 5、[利用零点讨论法] 由题意可知...