复变函数和积分变换学习指导

第 1 节 解析函数的孤立奇点一.解析函数的奇点 1.概念（1）为是奇点——在 不解析，但在 的任何一个 邻域总有 的解析点。（2） 为 的孤立奇点—— 在 的某个去心邻域 解析,且为的奇点。如 都以 为孤立奇点。（3）为的多值性奇点——即支点，在的某个去心邻域 是多值的。2.关系 二.解析函数的孤立奇点1.若为的孤立奇点，则在点的某去心邻域可 以展开成 Laurent 展式 。2.孤立奇点的三种类型定义 设 为 的孤立奇点，则 （1）为可去奇点——在的主要部分为 0（即 Laurent 展 式不含负幂项）； （2）为 的 级极点——的主要部分为有限项； （3）为的本性奇点——在的主要部分有无限多 项。三.可去奇点的特征（判定）定理 5.3 若 为 的孤立奇点，则以下条件等价： （1） 在点 的主要部分为 0； （2） （3） 在点 的某去心邻域有界。 证 “”由于 且在解 析，从而连续，故 。 “”由于 ,故 取 ， 则 , 即得。 “”设 ， 考虑 在 的主要部分 则 对 成立，故当 时， 即得。例 1 证明 为 的可去奇点。 证 由于 为 的孤立奇点， 在 的主要部分为 0，故 为其可去奇点。 证二 由于 故 为 的可去奇点。四. 级极点的特征1.定理 5.4 若以为孤立奇点,则下列三个条件是等价的: (1) 在点 的主要部分为； (2) 在点 的某去心邻域能表示成 ，其中在点的邻域解 析且 ； (3) 以 为 级零点(可去奇点要 当作解析点看，只要令 。 证 “” 在点 的某去心邻域、有 其中 在的邻域上解析，且 “”在 的某去心邻域 中， ，其中在解析 且，故在点连续，从而存在中 的某一个邻域 ，其上 ，从而 在 上解析， 故 由可去奇点的特 征知，为的可去奇点，令， 则以 为 级零点。 “”若以为级零，则在的某个邻 域，，其中在 上解析,且,于是存在的某个邻域,其 上,于是在上解析,故有 Taylor 展式: 故 2.定理 5.5 的孤立奇点 为极点 证 根据定理 5.4，以为极点 以 零点。例 2 求 的奇点,并确定其类型。 解 的奇点为，由于 以为一级零点,以 为二级零点,故以为 一级极点，以 为二级极点。例 3 求的全部有限奇点。并确定其类型。 解 的全部有限奇点为,由于 为 的聚点，故 为 的非孤立奇点。 现考虑 为 的几级零点。 故为的一级零点，从而为的一级极点。五.本性奇点的特征1.特征定理 5.6 的孤立奇点为本性奇点， 即 不存...