第 1 节 解析函数的孤立奇点一.解析函数的奇点 1.概念(1)为是奇点——在 不解析,但在 的任何一个 邻域总有 的解析点。(2) 为 的孤立奇点—— 在 的某个去心邻域 解析,且为的奇点。如 都以 为孤立奇点。(3)为的多值性奇点——即支点,在的某个去心邻域 是多值的。2.关系 二.解析函数的孤立奇点1.若为的孤立奇点,则在点的某去心邻域可 以展开成 Laurent 展式 。2.孤立奇点的三种类型定义 设 为 的孤立奇点,则 (1)为可去奇点——在的主要部分为 0(即 Laurent 展 式不含负幂项); (2)为 的 级极点——的主要部分为有限项; (3)为的本性奇点——在的主要部分有无限多 项。三.可去奇点的特征(判定)定理 5.3 若 为 的孤立奇点,则以下条件等价: (1) 在点 的主要部分为 0; (2) (3) 在点 的某去心邻域有界。 证 “”由于 且在解 析,从而连续,故 。 “”由于 ,故 取 , 则 , 即得。 “”设 , 考虑 在 的主要部分 则 对 成立,故当 时, 即得。例 1 证明 为 的可去奇点。 证 由于 为 的孤立奇点, 在 的主要部分为 0,故 为其可去奇点。 证二 由于 故 为 的可去奇点。四. 级极点的特征1.定理 5.4 若以为孤立奇点,则下列三个条件是等价的: (1) 在点 的主要部分为; (2) 在点 的某去心邻域能表示成 ,其中在点的邻域解 析且 ; (3) 以 为 级零点(可去奇点要 当作解析点看,只要令 。 证 “” 在点 的某去心邻域、有 其中 在的邻域上解析,且 “”在 的某去心邻域 中, ,其中在解析 且,故在点连续,从而存在中 的某一个邻域 ,其上 ,从而 在 上解析, 故 由可去奇点的特 征知,为的可去奇点,令, 则以 为 级零点。 “”若以为级零,则在的某个邻 域,,其中在 上解析,且,于是存在的某个邻域,其 上,于是在上解析,故有 Taylor 展式: 故 2.定理 5.5 的孤立奇点 为极点 证 根据定理 5.4,以为极点 以 零点。例 2 求 的奇点,并确定其类型。 解 的奇点为,由于 以为一级零点,以 为二级零点,故以为 一级极点,以 为二级极点。例 3 求的全部有限奇点。并确定其类型。 解 的全部有限奇点为,由于 为 的聚点,故 为 的非孤立奇点。 现考虑 为 的几级零点。 故为的一级零点,从而为的一级极点。五.本性奇点的特征1.特征定理 5.6 的孤立奇点为本性奇点, 即 不存...