归纳柯西不等式的典型应用

归纳柯西不等式的典型应用[摘要]：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。[关键词]：柯西不等式 ；证明；应用[引言]：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，假如巧妙利用它，在高考可以节约很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集与整理资料，得到四类的典型题。[正文]：1.柯西不等式的一般形式为：对任意的实数其中等号当且仅当时成立,其中变式：2. 柯西不等式的证明：证明柯西不等式的方法总共有 6 种，下面我们将给出常用的 2 种证明柯西不等式的方法：1）配方法：作差：因为所以，即即当且仅当即时等号成立。2）用数学归纳法证明 i）当时，有，不等式成立。当时，。因为，故有当且仅当，即时等号成立。ii）假设时不等式成立。即当且仅当时等号成立。那么当时，当且仅当时等号成立，即时等号成立。于是时不等式成立。由 i）ii）可得对于任意的自然数 ，柯西不等式成立。3. 柯西不等式在解题中的应用3.1 证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法得证。例 3.1.1 已知求证：。证明：由柯西不等式，得由 已 知则 可 知 上 式 取 等 号 ， 当 且 仅 当时于是 。3.2 证明不等式很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。例 3.2.1 已知为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数 ，有不等式。证明：由柯西不等式：于是。又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于 ，次小的数不小于 ，最大的不小于 ，这样就有。所以有。因为而所以有。例 3.2.2：设 a,b,c 为正数且不相等到，求证：证 明 ： 我 们 利 用 9 与 2 这 两 个 常 数 进 行 巧 拆 ， 9=，这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。明：2因为 a,b,c 各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。因此，有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是...