2．等价向量组：设向量组, 若可由线性表示, 称可由线性表示；若与可以互相线性表示, 称与等价． (1) 自反性：与等价 (2) 对称性：与等价与等价(3) 传递性：与等价, 与等价与等价定理 8 向量组与它的最大无关组等价． 证 设向量组的秩为 , 的一个最大无关组为． (1) 中的向量都是中的向量可由线性表示； (2) 任意, 当时, 可由线性表示； 当时, 线性相关, 而线性无关 由定理 2 知, 可由线性表示．故可由线性表示． 因此, 与等价．推论 向量组的任意两个最大无关组等价．定理 9 向量组, 向量组．若线性无关, 且可由线性表示, 则． 证 不妨设与都是列向量, 考虑向量组 易见, 秩秩．构造矩阵 因为可由线性表示, 所以 于是可得 秩． 推论 1 若可由线性表示, 则 秩秩．证 设 秩, 且的最大无关组为；秩, 且的最大无关组为, 则有可由线性表示可由线性表示可由线性表示 （定理 9） 推论 2 设向量组与等价, 则 秩秩． [注] 由“秩秩”不能推出“与等价”！ 正确的结论是：与等价与等价例 8 设,, 则 , ． 证 设, , , 则 即可由线性表示, 故 ． 根据上述结果可得§4.4 向量空间 1．向量空间：设是具有某些共同性质的维向量的集合, 若 对任意的, 有； （加法封闭） 对任意的, , 有． （数乘封闭） 称集合为向量空间．例如： 是向量空间 是向量空间 不是向量空间, 即数乘运算不封闭． 例 9 给定维向量组, 验证 是向量空间．称之为由向量组生成的向量空间, 记作 或者 证 设, 则, , 于是有 由定义知, 是向量空间． 2．子空间：设和都是向量空间, 且, 称为的子空间．例如：前面例子中的是的子空间． 例 9 中的也是的子空间． 3．向量空间的基与维数：设向量空间, 若 (1) 中有 个向量线性无关； (2) 可由线性表示． 称为的一组基, 称 为的维数, 记作或者． [注] 零空间没有基, 规定． 由条件(2)可得：中任意个向量线性相关．（自证） 若, 则中任意 个线性无关的向量都可作为的基． 例 10 设向量空间的基为, 则． 证 4．向量在基下的坐标：设向量空间的基为, 对于, 表示式唯一（定理 2）, 称为在 基下的坐标（列向量）． [注] 为维向量, 在的基下的坐标为 维列向量． 因为线性无关的“维向量组”最多含有个向量, 所以由维向量构成的向量空间的基中最多含有个向量, 故． 例 11 设向量空间的基为, , 求在...
