中点模型1---倍长中线-(1)

DEEA BC倍长中线它延续着旋转的思想，它们都是把离散的条件集中起来，构成新的图形，从而产生新的已知条件。已知在△ ABC 中， AD 是 BC 上的中线，延长 AD 至 E ，使 DE  AD ，这样会产生 ACD 辅助线的叙述有EBD 、ACBE ，实质上，相当于把 ACD 中心旋转一下，所以○1 延长：延长 AD 至 E ，使 DE  AD （通常已知中点）○2 作平行：过 B 作 BE AC 交 AD 延长线于 E （通常用于求证中点）板块一、平行线间出现中点【例 1】 如图，在正方形 ABCD 中， F 是 CD 的中点， E 是 BC 边上的一点，且 AF 平分DAE ，求证： AE  EC  CDADFBEC【例 2】 如图，梯形 ABCD 中， AB∥DC ， E 是 AD 的中点.⑴ 当 AB 、 DC 、 BC 满足什么关系时， BE  CE ？⑵ 若 BC  AB  DC ，是否有 BE  CE ？⑶ 当 BC  AB  DC 时， ABE 、CBE 满足什么关系？⑷ 若DCE  BCE ， AB 、 DC 、 BC 满足何种关系？B ACD图 1连结 BD，取 BD 的中点 F，连结 FE、CF，求证：CF 与 EF 的关系ADEFCB图 2【例 4】 如图，正方形 CGEF 的边 CG 与正方形 ABCD 的边 BC 在同一直线上（CG＞BC），连结 AE,取线段 AE 的中点 M．探究：线段 MD、MF 的关系，并加以证 明.板块三、已知中点三角形的三条线段，却要求满足三边关系，同时出现中点【例 5】 已知： ABC 中， AM 是中线．求证： AM  1 ( AB  AC) ．2ABMCEFE F于 F ， AF  EF ，求证： AC  BE ．AFBDC【例 7】 如图所示，已知ABC 中，AD 平分BAC ，E 、F 分别在 BD 、AD 上．DE  CD ，EF  AC ．求证： EF ∥ ABA BEDC【例 8】 已知 AM 为 ABC 的中线， AMB ， AMC 的平分线分别交 AB 于 E 、交 AC 于F ．求证： BE  CF  EF ．A BDCDB GCADCFBPEMQ连接 CE 、CD ，求证 CD  2EC ．板块三、求证中点【例 10】已知ACB ，B  ACB ，D ，E 分别是 AB 及 AC 延长线上的一点，且 BD  CE ， 连接 DE 交底 BC 于 G ，求证 GD  GE ．AE【例 11】已知△ABC 中，过 AB 边和 BC 边在三角形外分别作正方形 ABEF 和正方形 BCPQ， 连接 EQ，过 B 点作 BM⊥EQ，延长 MB 与 AC 交于 D 点，求证：D 是 AC 中点．