11．2．5★在锐角三角形中，是是一点，满足，过作，为垂足，证明：．解析 由条件知∽，且，又，故∽，于是．11．2．6★已知正方形，点和分别在上，且，与垂直于，求的取值范围．解析 易知∽，故有．又，故∽，．11．2．7★在中，，点是内的一点，使得，且，，求．解析 由条件易知，又，故∽．．AEFBDCADPHCQBABCP因此，．11．2．8★如图，在直角三角形中，斜边的长为 35，有一个边长为 12 的正方形内接于，求的周长．解析 设，，则．又∽，所以，，即，故．所以，，解得(另一个解-25 舍去)．所以三角形的周长为 84．11．2．9★★是正方形的边的中点，点分对角线的比为，证明：．解析 如图，连结、，交于，则，，而，，，故∽，这是顺相似，所以∽，．11．2．10★★如图，，，，与分别是与的高，点与分别为与的垂心，求证：被平分．AFECDBADKOLBCAENFDMCBH2H1解析 本题即是证明，这可以转化为求证或．很容易看出∽，故．由于四边形是矩形，有，，于是结论成立．11．2．11★★已知，向外作正方形和正方形．若，求证：．解析 如图，不妨设与、分别交于、，于是，，∽，，两边同时减去，得，于是．评注 本题也可通过、向直线作垂线，并通过全等三角形来证明．与或不相交是不可能的，这样、将在直线的异侧．11．2．12★★中，，，求的取值范围．解析 如图，设三对应边分别为、、，延长至，使，于是，∽，故，即，从而．接下去考虑三角形不等式，显然，也显然，，即，或，故．又，故．因此，的取值范围是．11．2．13★★已知正三角形，在上，，在上，求证：．QANPEFMBCCBAD解析 如图，不妨设，，，则．又设，，则，，解得．于是，∽，故有．11．2．14★★已知锐角，是高，，，是中点，作与延长线垂直且交于，若在的中垂线上，求．解析 如图，设中点为，由于，故∽∽，所以，．设，则由，得，，所以，，，．11．2．15★★如图，直角三角形中，，是角平分线，于，则；．解析 延长与交于，易知．由于，故∽，ABCEDABCMDNPAFDGEBC于是．又作关于之对称点，则．由于∽，故．11．2．16★★能否把任意两个直角三角形各划分成两个三角形，使它们分别对应相似?解析 如图，设．若两三角形相似，结论显然成立．否则可不妨设，则于是可在上取一点，使；在上取一点，使．易知∽，∽．11．2．17★★设凸四边形的对角线、的交点为．过点作的平行线分别交、于点、，交的延长线于点．是以为圆心，为半径的圆上一点．求证：．解析 延长、交于点．由得，...
