第十七章多元函数微分学§1可微性1．求下列函数的偏导数（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）解（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），；（7），；（8），，；（9），，；（10），，；2．设；求解，3．设考察函数在原点处的偏导数。解因为，不存在，所以，在原点关于的偏导数为，关于的偏导数不存在。4．证明函数在点连续但偏导数不存在。因为，所以在点连续，又，当时，极限不存在，因此不存在，同理不存在。5．考察函数在点处的可微性。解由知，，同理可得因此故即在点处可微。6．证明函数在点连续且偏导数存在，但在此点不可微。证因为，所以，即在连续，同理①当时，①式的值为；当时，其值为所以①式的极限不存在，故在点不可微。7．证明函数在点处连续且偏导数存在，但偏导数在不连续，而在原点可微。证由于，所以在点连续。当时，当时，而，不存在（可考察情况）。因此，不存在，从而在点不连续。同理可证在点不连续，然而所以在点可微。8．求下列函数在给定点的全微分：（1）在点；（2）在点解（1）因为在点连续，所以函数在可微。由得。（2）因为在点连续，所以函数在可微，由得。9．求下列函数的全微分：（1）；（2）解显然函数和的偏导数连续，于是和可微，且（1）（2）10．求曲面在点处的切平面方程和法线方程。解由于在处可微，从而切平面存在。因为，所以切平面方程为即法线方程为即。11．求曲面在点处的切平面与法线方程解由得在点处有，所以切平面方程为，即。法线方程为，即。12．在曲面上求一点，是这点的切平面平行于平面；并求出这切平面方程和法线方程。解设所求点为，在处切平面法向量为。要使切平面与平面平行，有，于是得点为，且点处的切平面方，即。法线方程为即。13．计算近似值：（1）；（2）解（1）选函数。于是故即（2）设。则14．设圆台上下底的半径分别为，高。若分别增加，求此圆台体积变化的近似值。解圆台体积，于是。将，及代入上式得。§2复合函数微分法1．求下列复合函数的偏导数或导数：（1）设，求；（2）设，求；（3）设，求；（4）设，求；（5）设，求；（6）设，求；解（1）令由复合函数的求导法则有（2），（3）（4），（5）用分别表示函数对第一个中间变量与第二个中间变量的偏导数（6）2．设，其中为可微函数，验证证设于是3．设，其中为可微函数，证明证设，则4．设可微，证明：在坐标旋转变换之下，是一个形式不变量。即若则必有（其中旋转角是常量）。证故5．设是可微函数，。试求：与解因此§3方向导数与梯度1．求函数在点处沿方向（其方向角分别为）的方向梯度。解函数在点处可微，且，于是沿方向的方向导数为2．求函数在点处沿到点的方向上的方向导数。解函数在点处可微，且，而的方向余弦为。故在点处沿的方向导数为3．求函数在点及点处的梯度以及它们的模。解因为所以4．设函数，其中，求的梯度；并指出在空间那些点上成立等式。解因此，由，得，故使的点是满足方程的点，即在空间以为球心，以为半径的球面上都有5．设函数，求它在点的梯度。解因为，所以6．证明（1）（c为常数）；（2）（为常数）；（3）；（4）证设，则（1）（2）（3）（4）7．设，试求（1）；（2）解（1）由得（2）设，则§4泰勒公式与极值问题1．求下列函数的高阶偏导数：（1），所有二阶偏导数；（2），所有二阶偏导数；（3）；（4）；（5），所有二阶偏导数；（6），所有二阶偏导数；（7）解（1）（2）（3），于是（4）由归纳法知因此（5）（6）令则（7）2．设，证明：解于是3．设，证明解因为所以4．设，c为常数，证明证同理于是5，证明定理17.8的推论若函数在区域D上存在偏导数，且，则在区域D上为常量函数。证设是D上任意两点，由于D是区域，可用一条完全在D内的折线连接，在直线段上每一点存在邻域由中值定理得于是，即在内是常数，这就证明了在直线段上任一点都存在邻域，使常数。由有限覆盖定理，存在有限个这样的邻域将覆盖，不妨设。既然在每个邻域上函数为常数，且在两邻域相交部分函数值相等，故在上为常数，特别，同理可证。故，由和的任意性知，在D内常数。6．通过对施用中值定理，证明对某，有证在上满...
