大一高数函数与极限第一节函数○函数基础(高中函数部分有关知识)(★★★)○邻域(去心邻域)(★) 第二节数列得极限○数列极限得证明(★)【题型示例】已知数列,证明【证明示例】语言1.由化简得,∴2.即对,,当时,一直有不等式成立,∴第三节函数得极限○时函数极限得证明(★)【题型示例】已知函数,证明【证明示例】语言1.由化简得,∴2.即对,,当时,一直有不等式成立,∴○时函数极限得证明(★)【题型示例】已知函数,证明【证明示例】语言1.由化简得,∴2.即对,,当时,一直有不等式成立,∴第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大得本质(★)函数无穷小函数无穷大○无穷小与无穷大得有关定理与推论(★★)(定理三)假设为有界函数,为无穷小,则(定理四)在自变量得某个变化过程中,若 为无穷大,则为无穷小;反之,若为无穷小,且,则为无穷大【题型示例】计算:(或)1. ≤∴函数在得任一去心邻域内就是有界得;( ≤,∴函数在上有界;)2.即函数就是时得无穷小;(即函数就是时得无穷小;)3.由定理可知()第五节极限运算法则○极限得四则运算法则(★★)(定理一)加减法则(定理二)乘除法则有关多项式、商式得极限运算设:则有 (尤其地,当(不定型)时,一般分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解)【题型示例】求值【求解示例】解:由于,从而可得,因此原式其中为函数得可去间断点倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):解:○持续函数穿越定理(复合函数得极限求解)(★★)(定理五)若函数就是定义域上得持续函数,那么,【题型示例】求值:【求解示例】第六节极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则(P53)(★★★)第一种重要极限: ,∴(尤其地,)○单调有界收敛准则(P57)(★★★)第二个重要极限:(一般地,,其中)【题型示例】求值:【求解示例】 第七节无穷小量得阶(无穷小得比较)○等价无穷小(★★)1.2.(乘除可替,加减不行)【题型示例】求值:【求解示例】第八节函数得持续性○函数持续得定义(★)○间断点得分类(P67)(★)(尤其地,可去间断点能在分式中约去对应公因式)【题型示例】设函数 ,应当怎样选择数,使得成为在上得持续函数？【求解示例】1. 2.由持续函数定义∴第九节闭区间上持续函数得性质○零点定理(★)【题型示例】证明:方程至少有一种根介于与之间【证明示例】1.(建立辅助函数)函数在闭区间上持续;2. (端点异号)3.∴由零点定理,在开区间内至少有一点,使得,即()4.这等式阐明方程在开区间内至少有一种根第一章导数与微分第一节导数概念○高等...
