章末整合对点讲练一、正、余弦定理解三角形的基本问题例 1 在△ABC 中，(1)已知 a＝，b＝，B＝45°，求 A、C、c；(2)已知 sin A∶sin B∶sin C＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角．点拨 (1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角 A，再求其余的量．(2)先由 sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，求出 a∶b∶c，再由余弦定理求出最大角．解 (1)由正弦定理及已知条件有＝，得 sin A＝， a>b，∴A>B＝45°，∴A＝60°或 120°.当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝＝，当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝＝.(2)根据正弦定理可知 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝(＋1)∶(－1)∶，∴边 c 最大，即角 C 最大．设 a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k，则 cos C＝＝＝－. C∈(0，π)，∴C＝.回顾归纳 已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．►变式训练 1 (1)△ABC 中，AB＝1，AC＝，∠C＝30°，求△ABC 的面积；(2)已知 a、b、c 是△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若 a＝4，b＝5，S＝5，求 c 的长度．解 (1)＝，∴sin B＝，∴B＝60°或 120°，当 B＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝.当 B＝120°时，A＝30°，∴S△ABC＝××1×sin 30°＝.综上，△ABC 的面积为或.(2) S＝absin C，∴sin C＝，于是 C＝60°或 C＝120°.当 C＝60°时，c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝21，∴c＝；当 C＝120°时，c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab＝61，∴c＝.∴c 的长度为或.二、正、余弦定理在三角形中的应用例 2 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长．已知 b2＝ac 且 a2－c2＝ac－bc.(1)求∠A 的大；(2)求的值．点拨 (1)利用 cos A＝求解；(2)利用正弦定理对代数式进行转化．解 (1) b2＝ac 且 a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝，∴A＝60°.(2)方法一 在△ABC 中，由正弦定理得：sin B＝， b2＝ac，∴＝.∴sin B＝＝，∴＝sin A＝sin 60°＝.方法二 在△ABC 中，由面积公式得：bcsin A＝acsin B b2＝ac，∴bcsin A＝b2sin B，∴＝sin A＝sin 60°＝.回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题...
