第二章 圆锥曲线与方程§2.1 曲线与方程. 知识点一 直接法求曲线的方程 已知线段 AB 的长度为 10，它的两个端点分别在 x 轴、y 轴上滑动，则 AB 的中点 P 的轨迹方程是________．解析 设点 P 的坐标为(x，y)，则 A 点坐标为(2x,0)，B 点坐标为(0,2y)．由两点间的距离公式可得＝10，即(2x)2＋(2y)2＝100，整理、化简得 x2＋y2＝25.答案 x2＋y2＝25知识点二 代入法求曲线的方程 已知△ABC 的两顶点 A、B 的坐标分别为 A(0,0)、B(6,0)，顶点 C 在曲线 y＝x2＋3 上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．分析 由重心坐标公式，可知△ABC 的重心坐标可以由 A、B、C 三点的坐标表示出来，而 A、B 是定点，且 C 在曲线 y＝x2＋3 上运动，故重心与 C 相关联．因此，设出重心与 C 点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程 y＝x2＋3 即可．解 设 G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点 C 的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得∴ 顶点 C(x′，y′)在曲线 y＝x2＋3 上，∴3y＝(3x－6)2＋3，①整理，得 y＝3(x－2)2＋1，故所求轨迹方程为 y＝3(x－2)2＋1.知识点三 定义法求曲线的方程 设 A(1,0)，B(－1,0)，若动点 M 满足 kMA·kMB＝－1，求动点 M 的轨迹方程．解 如图所示，设动点 M 的坐标为(x，y)．由题意知：MA⊥MB.所以△MAB 为直角三角形，AB 为斜边．又因为原点 O 是 AB 的中点，所以，|MO|=， |AB|=1，所以，动点 M 在以 O(0,0)为圆心，|MO|为半径的圆上．根据圆的方程的定义知：方程为 x2+y2=1.又因为动点 M 不能与点 A，B 重合，所以，x≠±1，所以，动点 M 的轨迹方程为 x2+y2=1 (x≠±1)．知识点四 参数法求曲线的方程1 已知定点 P(a，b)不在坐标轴上，动直线 l 过点 P，并分别交 x 轴，y 轴于点 A，B，分别过 A，B 作 x 轴，y 轴的垂线交于点 M，求动点 M 的轨迹方程．解 设 M(x，y)，并设 l：y－b＝k(x－a)，由题意知 k 存在，且 k≠0，则得 A(a－，0)，B(0，b－ak)，又 AM，BM 分别是 x 轴，y 轴的垂线，得 M(a－，b－ak)．即消去参数 k，得 xy－ay－bx＝0.所以动点 M 的轨迹方程是 xy－ay－bx＝0.知识点五 交轨法求曲线的方程 如果两条曲线的方程是 f1(x，y)＝0 和 f2(x，y)＝0，它们的交点是 P(x0，y0)，证明：f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0 的曲线也经过 P 点(λ∈R)，并求经过两条曲线 x2＋y2＋3x－y＝0 ...
