第二章 圆锥曲线与方程§2
1 曲线与方程
知识点一 直接法求曲线的方程 已知线段 AB 的长度为 10，它的两个端点分别在 x 轴、y 轴上滑动，则 AB 的中点 P 的轨迹方程是________．解析 设点 P 的坐标为(x，y)，则 A 点坐标为(2x,0)，B 点坐标为(0,2y)．由两点间的距离公式可得＝10，即(2x)2＋(2y)2＝100，整理、化简得 x2＋y2＝25
答案 x2＋y2＝25知识点二 代入法求曲线的方程 已知△ABC 的两顶点 A、B 的坐标分别为 A(0,0)、B(6,0)，顶点 C 在曲线 y＝x2＋3 上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．分析 由重心坐标公式，可知△ABC 的重心坐标可以由 A、B、C 三点的坐标表示出来，而 A、B 是定点，且 C 在曲线 y＝x2＋3 上运动，故重心与 C 相关联．因此，设出重心与 C 点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程 y＝x2＋3 即可．解 设 G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点 C 的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得∴ 顶点 C(x′，y′)在曲线 y＝x2＋3 上，∴3y＝(3x－6)2＋3，①整理，得 y＝3(x－2)2＋1，故所求轨迹方程为 y＝3(x－2)2＋1
知识点三 定义法求曲线的方程 设 A(1,0)，B(－1,0)，若动点 M 满足 kMA·kMB＝－1，求动点 M 的轨迹方程．解 如图所示，设动点 M 的坐标为(x，y)．由题意知：MA⊥MB
所以△MAB 为直角三角形，AB 为斜边．又因为原点 O 是 AB 的中点，所以，|MO|=， |AB|=1，所以，动点 M 在以 O(0,0)为圆心，|MO|为半径的圆上．根据圆的方程的定义知：方程为 x2+y2=1
又因为动点 M 不能与点 A，B 重合，所以，x≠±1，所以，动点 M 的轨迹方程为 x2+y2=
