§2.2 椭 圆典例剖析知识点一 椭圆定义的应用 如图所示,已知椭圆+=1(a>b>0)内一点 A,F1为左焦点,在椭圆上求一点 P,使|PF1|+|PA|取得最值.解 设 F2 为椭圆的右焦点,且直线 AF2 与椭圆相交于 P1、P2 两点,点 M 是不同于点P1、P2 的椭圆上的任意一点.根据椭圆的定义知:|P1F1|+|P1F2|=2a,所以| P1F1|+|P1A|=| P1F1|+| P1F2|+|F2A|=2a+|F2A|.①在△AMF2中 ,|MA|<|MF2|+|F2A|.所以|MF1|+|MA|<|MF1|+|MF2|+|F2A|.因为 M 是椭圆上任意一点,所以|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|+|MA|<2a+|F2A|.②由式①、②知|MF1|+|MA|<|P1F1|+|P1A|.|P2F1|+|P2A|=|P2F1|+|P2F2|-|AF2|=2a-|F2A|.而在△AMF2中,|MA|>|MF2|-|F2A|,所以|MF1|+|MA|>|MF1|+|MF2|-|F2A|=2a-|F2A|,所以|MF1|+|MA|>|P2F1|+|P2A|.由以上可知,点 P1是使|PF1|+|PA|取得最大值的点,而点 P2是使|PF1|+|PA|取得最小值的点.知识点二 求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0).(2)经过点 A(,),B(0,-).(1)解 方法一 椭圆的焦点在 x 轴上,设其标准方程为+=1(a>b>0).由椭圆定义知:2a=+=10,所以 a=5.又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.故椭圆标准方程为+=1.方法二 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),因为 c=4,所以 a2-b2=c2=16.又椭圆经过点(5,0),所以+=1,所以 a2=25,所以 b2=25-16=9,所以椭圆的标准方程为+=1.(2)方法一 ①当椭圆焦点在 x 轴上时,设标准方程为+=1(a>b>0),依题意有解得又因为 a>b,所以该方程组无解.② 当椭圆焦点在 y 轴上时,设标准方程为+=1(a>b>0).依题意有解得所以方程为+=1.综上知,所求椭圆的标准方程为:+=1.1方法二 设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),依题意有解得所以所求椭圆的方程为 5x2+4y2=1,即其标准方程为+=1.知识点三 根据方程研究几何性质 求椭圆 25x2+16y2=400 的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标.解 将方程变形为+=1,得 a=5,b=4,所以 c=3.故椭圆的长轴和短轴的长分别为 2a=10,2b=8,离心率 e==,焦点坐标为(0,-3),(0,3),顶点坐标为(0,-5),(0,5),(-4,0),(4,0).知识点四 根据几何性质求方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是 6,离心率是.(2)在 x 轴上的一个焦点,与短轴...