§2.2 椭 圆典例剖析知识点一 椭圆定义的应用 如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)内一点 A，F1为左焦点，在椭圆上求一点 P，使|PF1|＋|PA|取得最值．解 设 F2 为椭圆的右焦点，且直线 AF2 与椭圆相交于 P1、P2 两点，点 M 是不同于点P1、P2 的椭圆上的任意一点．根据椭圆的定义知：|P1F1|+|P1F2|=2a，所以| P1F1|+|P1A|=| P1F1|+| P1F2|+|F2A|=2a+|F2A|.①在△AMF2中 ，|MA|<|MF2|＋|F2A|.所以|MF1|＋|MA|<|MF1|＋|MF2|＋|F2A|.因为 M 是椭圆上任意一点，所以|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|MF1|＋|MA|<2a＋|F2A|.②由式①、②知|MF1|＋|MA|<|P1F1|＋|P1A|.|P2F1|＋|P2A|＝|P2F1|＋|P2F2|－|AF2|＝2a－|F2A|.而在△AMF2中，|MA|>|MF2|－|F2A|，所以|MF1|＋|MA|>|MF1|＋|MF2|－|F2A|＝2a－|F2A|，所以|MF1|＋|MA|>|P2F1|＋|P2A|.由以上可知，点 P1是使|PF1|＋|PA|取得最大值的点，而点 P2是使|PF1|＋|PA|取得最小值的点．知识点二 求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)．(2)经过点 A(，)，B(0，－)．(1)解 方法一 椭圆的焦点在 x 轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆定义知：2a＝＋＝10，所以 a＝5.又 c＝4，所以 b2＝a2－c2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为＋＝1.方法二 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为 c＝4，所以 a2－b2＝c2＝16.又椭圆经过点(5,0)，所以＋＝1，所以 a2＝25，所以 b2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)方法一 ①当椭圆焦点在 x 轴上时，设标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意有解得又因为 a>b，所以该方程组无解．② 当椭圆焦点在 y 轴上时，设标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意有解得所以方程为＋＝1.综上知，所求椭圆的标准方程为：＋＝1.1方法二 设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，依题意有解得所以所求椭圆的方程为 5x2＋4y2＝1，即其标准方程为＋＝1.知识点三 根据方程研究几何性质 求椭圆 25x2＋16y2＝400 的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标．解 将方程变形为＋＝1，得 a＝5，b＝4，所以 c＝3.故椭圆的长轴和短轴的长分别为 2a＝10,2b＝8，离心率 e＝＝，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．知识点四 根据几何性质求方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是 6，离心率是.(2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴...
