§2.3 双曲线知识点一 双曲线定义的应用 已知定点 A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以 C 为一个焦点作过 A，B 的椭圆，求另一焦点的轨迹方程．解 设 F(x，y)为轨迹上任意一点， A、B 两点在以 C，F 为焦点的椭圆上∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝2∴F 的轨迹方程为：y2－＝1 (y≤－1)．知识点二 求双曲线的标准方程 设双曲线与椭圆＋＝1 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点 A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．解 方法一 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知 c2＝36－27＝9，c＝3.又点 A 的纵坐标为 4，则横坐标为±，于是有解得所以双曲线的标准方程为－＝1.方法二 将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(±，4)，又两焦点分别为 F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝|－|＝4，即 a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为－＝1.方法三 若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为＋＝1(27<λ<36)，再将点A(±，4)代入求 λ，进而求方程，不过这种解题方法有一定的技巧性．知识点三 双曲线在实际中的应用 A、B、C 是我方三个炮兵阵地，A 在 B 正东 6 km，C 在 B 的北偏西 30°相距 4 km，P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 B、C 两地比 A 距 P 地远，因此4 s 后，B、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 1 km/s，A 若炮击 P 地，求炮击的方位角．解 以直线 BA 为 x 轴，线段 BA 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2) |PB|＝|PC|，∴点 P 在线段 BC 的垂直平分线上 kBC＝－，BC 中点 D(－4，)∴直线 PD：y－＝(x＋4)①又|PB|－|PA|＝4，∴P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上设 P(x，y)则双曲线方程为－＝1(x＞0)②联立①、②式得 x＝8，y＝5，∴P(8,5)，因此 kPA＝＝.故炮击的方位角为北偏东 30°.知识点四 双曲线几何性质的简单应用 已知双曲线渐近线的方程为 2x±3y＝0.(1)若双曲线经过 P(，2)，求双曲线方程；(2)若双曲线的焦距是 2，求双曲线方程；(3)若双曲线顶点间的距离是 6，求双曲线方程．解 (1)设双曲线的方程为 4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 双曲线过点 P(，2)，∴4×6－9×4＝λ，即 λ＝－12用心 爱心 专心1∴双曲线的方程为：－＋y2＝1.(2)设双曲线方程为－＝1，或－＝1(a>0，b>0)． c2＝a2＋b2，∴13＝a2＋b2.由渐近线斜...
