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2012届高中数学 1.6.2空间垂直关系中常见错误分析素材 北师大版必修2

2012届高中数学 1.6.2空间垂直关系中常见错误分析素材 北师大版必修2_第1页
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空间垂直关系中常见错误分析垂直是空间中一种重要的位置关系,在高考中为一个命题的热点,但由于初学者认识上的偏差、思维上的疏漏,如对空间的垂直的判定与性质时理解不透彻,或不注意空间立体几何与平面几何的区别与联系等,都导致出现不同程度的失误.现举例分析常见错误.一、内涵理解不透彻例 1 已知平面⊥,下面四个命题:①内的任一直线必垂直于内的无数条直线;②在内垂直于与的交线的直线必垂直于内的任意一条直线;③内的任一直线必垂直于;④过内的任意一点作与的交线的垂线,则这条直线必垂直于,其中正确的命题序号为__________.错解:①②③④四个命题都正确.剖析:由面面垂直机械地推理了线面垂直,从而导致错选③;而对于④,若取点在两个平面的交线上,则显然是错误的.产生这些错误的原因在于对面面垂直、线面垂直、线线垂直的判定与性质的本质上把握不够到位.正解:若平面⊥,则可得知其中一个平面内的任意一条直线可垂直于另一个平面内的无数条直线,但无法垂直于所有直线,就是说无法断定垂直于另一个平面,因此可判断①②正确;过与的交线上的点作这条直线的垂线,显然它不一定垂直于两个平面,因此命题④是错误的,正确答案为①②.特别提醒:对于线面垂直、面面垂直从定义到判定定理、性质定理在本质上都必须把握它们的条件与结论,注意它们对应模型图的结构特征,在应用时才不会乱用.二﹑错用平面几何的结论例 2 已知直线 a平面,a⊥b,b⊥,求证:a∥.错证:如右图,由题设 b⊥,知直线 b 与平面  有交点,设交点为 Q,过直线 a 和点 Q 用平面与平面  交于过点 Q 的一条直线 a,则 a, b⊥,∴b⊥a,又 a⊥b,∴a∥a, a(,∴a,∴a∥.剖析:错证是因应用平面几何中的定理“同垂直于一条直线的两条直线平行”,得 a∥a时,忽视了该定理要求定理中涉及的三条直线都在同一个平面内的前提条件,而现在仅有 a 和 a在平面  内,直线 b 不能保证也在平面  内,因而没有满足使用定理的条件,故证明是错误的.正解:如图,在直线 a 上取一点 P,过 P 作直线 b∥b,则 a 与 b确定一个平面,设∩=c, a⊥b,b∥b,∴a⊥b, a⊥,c,∴a⊥c, a、c、b,∴b∥c,∴b∥c,∴b∥平面.特别提醒:在平面几何中的定理、公理等相关结论,在立体几何中是否成立,必须要通过...

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