§3．1.5 空间向量运算的坐标表示 知识点一 空间向量的坐标运算设 a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求 k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求 k.解 (1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得 k＝－.(2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得 k＝.【 反 思 感 悟 】 以 下 两 个 充 要 条 件 在 解 题 中 经 常 使 用 ， 要 熟 练 掌 握 ． 若 a ＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 a∥b⇔x1＝λx2 且 y1＝λy2，且 z1＝λz2(λ∈R)；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.已知 A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：(1)线段 AB 的中点坐标和长度；(2)到 A，B 两点距离相等的点 P(x，y，z)的坐标 x，y，z 满足的条件．解 （1）设 M 是线段 AB 的中点，则＝(OA＝(OA＋OB)＝(2，，3)，所以线段 AB 的中点坐标是(2，，3)．|AB|＝＝.(2)点 P(x，y，z)到 A，B 两点距离相等，则＝，化简，得 4x＋6y－8z＋7＝0.即到 A，B 两点距离相等的点 P(x，y，z)的坐标 x，y，z满足的条件是 4x＋6y－8z＋7＝0.知识点二证明线面的平行、垂直在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CD 的中点，求证：D1F⊥平面 ADE. 证明, 不妨设已知正方体的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则D（0，0，0），A（2，0，0），E（2，2，1），F（0，1，0），D1（0，0，2），所以＝(－2,0,0)，D1F＝(0,1，－2)，AD·D1F＝0＋0＋0＝0，所以 D1F⊥AD.又AE＝(0,2,1)，所以AE、D1F＝0＋2－2＝0，所以 D1F⊥AE.又 AD∩AE＝A，所以 D1F⊥平面 ADE.【反思感悟】本例中坐标系的选取具有一般性，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负数，且易确定，在今后会常用到．已知 A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形 ABCD为平行四边形．证明 设 O 为坐标原点，依题意 =（-2，3，1），=（2，-5，3），∴= = (2, 5,3) (2,3,1) = (4, 8 , 2).同 理 可 得 = (4,8,2), = (6,6,5),= (6,6,5).由 =， =，可知∥，∥，所以四边形 ABCD 是平行四边形. 知识点三 向量坐标的应用棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P 为 DD1 的中点，O1、O2、O3 分别是平面A1B1C1D1...
