2015高中数学 2.3数学归纳法要点讲解 新人教A版选修2-2

数学归纳法要点讲解数学归纳法是用于证明与正整数 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．1．数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果① 当（）时，成立；② 假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．（2）第二数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果① 当（）时，成立；② 假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．2．数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法① 当时，成立，② 假设时成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．（2）反向数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①对无限多个正整数 成立；② 假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么根据①②对一切正整数时，成立．3．应用数学归纳法的技巧（1）起点前移或后移：有些命题对一切大于等于 1 的正整数 都成立，但命题本身对也成立，而且验证起来比验证时容易，因此用验证成立代替验证，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．而有些命题在第一步证明中，不仅要证明1n  时原不等式成立，还要证明当2n  时，原不等式也成立． 例 1 已知nN ，求证：2111(123) 123nnn ≥． 分析：可结合不等式关系：111111(1)232 nn≥来证明，但注意要将 奠基的起点后移，即在第一步证明中，不仅要证明1n  时原不等式成立，还要证明当2n  时，原不等式也成立． 证明：（1）当1n  时，原不等式显然成立，1 当2n  时，不等式左边191(12)14222 ， 右边224 ，则左边＞右边， ∴ 当2n  时 ， 原 不 等 式 成 立 ． （ 2 ） 假 设 当()nk kN时 ，2111(123) 123kkk ≥成立，则1nk  时， 1111[123(1)] 1231kkkk 111123111(123) 11(1) 123123kkkkkk   2(1)11(1) 12(1)2k kkkk≥2231(1)22kkkk ． 所以当1nk  时原不等式也成立． 由（1）和（2），可知原不等式对任何n...