2015高中数学 2.3数学归纳法应用中的四个常见错误总结 新人教A版选修2-2

数学归纳法应用中的四个常见错误总结数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法.证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可.使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值0n 确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清.现举例如下：（1）初始值0n 估计的错误.归纳奠基是归纳的基础，是数学归纳法的关键之处.0n通常是 1，但不总是 1.有些同学思维定势，认为0n 是 1，而不能具体问题具体分析.例 1 用数学归纳法证明“ 2n ＞2n +1 对于 n＞0n 的正整数 n 成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D.5 【答案】 选 D例 2 若 f(n)= *1111,()2321nNn,则 n=1 时 f(n)是A. 1 B. 13 C. 11123 D.以上答案均不正确【答案】选 C点评：这也是一个常见的错误，解题的关键是因为分母是连续的，由最后一项即其前面的项组成.（2）对项数估算的错误 用数学归纳法证明恒等式时，由 n=k 递推到 n=k+1 时，左端增加的项有时是一项有时不只是一项，有有时左端的第一个因式也可能变化.举例如下：例 3 用数学归纳法证明不等式11112321n＜n（n∈*N ）过程中，由 n=k 递推到 n=k+1 时，不等式左端增加的项数是（ ）A. 1 B. 2k -1 C. 2k D. 2k +1解析：当 n=k 时，左端=11112321k当 n=k+1，左端=111111111()23212212221kkkkk1括号内的部分是增加的式子，计算可知共2k 项.点评：这类问题的特点是分母从 1 开始在正整数范围内递增，抓住这个关键，再通过 n=k和 n=k+1 左端进行对比，就不会发生错误了.【答案】 选 C例 4 用 数 学 归 纳 法 证 明 (n+1)(n+2)…(n+n)= 2n ﹒1﹒3…(2n-1)(n∈N) 时 ， 从“n=k→n=k+1”两边同乘以一个代数式，它是 （ ）解析：当 n=k 时，(1)(2)()kkkk= 21 3(21)kk  当 n=k+1 时，(1 1)(12)(11)kkkk   =121 3[2(1) 1]kk   通过对比可知，增加了两项（2k+1）（2k+2）减少了一 项 k+1.故答案选 D.点评：通过对比 n=k 和 n=k+1 时的变化确定增减项.因为每一项中都有 n，项数会有增有减.（3）没有利用归纳递推数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可，归纳奠基是递推的...