数学归纳法及其应用举例教学目标：以数列知识作为基础，提出归纳法，进而提出数学归纳法，并通过例题验证数学归纳法的作用。教学重点：关于数学归纳法思想的形成。教学过程：前面我们学习过等差数列，首先请大家回忆一下是怎样推导出等差数列的通项公式来的。a1=a1+0da2=a1+d=a1+1da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d......an=a1+（n-1）d整个的这个推导过程，就是一个从特殊归纳出一般的过程。所谓归纳法，就是从一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。但是对于数学问题来说，往往其中包含了无限的问题，比如，对所有的正整数、自然数如何如何，我们不可能去验证所有的，那么通过怎样的方法来解决呢？这就涉及到了数学归纳法的问题。数学归纳法可以理解为数学学科所特有的归纳法，因为它是应用于数学，服务于数学的。具体来讲，数学归纳法主要是通过以一个预先的假设作为条件来进行命题的证明，能够得到命题的证明，也就验证了预先的假设是正确的，关于命题也就彻底的证明了。我们来用数学归纳法证明一下等差数列的通项公式是正确的。已知：an是一个等差数列。求证：对于一切 n∈N*，an=a1+（n-1）d 成立证明：（1）当 n=1 时，左边=a1，右边=a1+0*d=a1，等式是成立的。（2）假设当 n=k 时等式成立，就是 ak=a1+（k-1）d，那么 ak+1=ak+d=[a1+（k-1）d]+d=a1+[（k+1）-1]d这就是说，当 n=k+1 时，等式也成立。这是一个使用数学归纳法进行证明的典型例子，由此我们还可以归纳出时使用数学归纳法进行证明的一般步骤：（1）证明当 n 取第一个值 n0时结论正确；用心 爱心 专心（2）假设当 n=k（k∈N*，且 k〉n0）时结论正确，证明当 n=k+1 时结论也正确。完成这两个步骤以后，就可以断定命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都正确，也就是命题成立。用数学归纳法证明 1*4+2*7+3*10+…+n*（3n+1）=n（n+1）2证明：（1）当 n=1 时，左边=1*4=4，右边=1*22=4，等式成立（2）假设当 n=k 时，等式成立，就是1*4+2*7+3*10+…+k*（3k+1）= k（k+1）2那么1*4+2*7+3*10+…+k*（3k+1）+（k+1）[3（k+1）+1]= k（k+1）2+（k+1）[3（k+1）+1]=（k+1）[k（k+1）+3（k+1）+1]=（k+1）（k2+4k+4）=（k+1）[（k+1）+1]2这就是说，当 n=k+1 时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何 n∈N*都成立。用心 爱心 专心
