利用数形结合法解不等式问题说明

利用数形结合法解不等式问题说明 近年的高考强调不等式基础知识考查的同时也很注重数学能力的考查和数学思想方法的应用，其中数形结合思想方法的应用不可忽视。下面列举六例说明。 1. 数形对照，相互渗透 例 1. 使不等式|| ||xxa43有解的实数 a 的取值范围（ ） A. a  7B. a 7 C. a 1D. a 1 分析：|| ||xx43 表示数轴上 x 所对应的点到与 4、3 所对应的两点距离之和。由图 1可得其和最小值为 1，故选 D。图 1 例 2. 已知 xyxyy， 满足2220 ，欲使不等式 xyc0 恒成立，求实数 c 的取值范围。 分析：欲使 xyc0 恒成立， 即  cxy 恒成立， 故 cxy() min 。 于是问题转化为求 xyyxy22202上一点，使有最小值问题。由图 可知，当直线lxyxyyxy122020平行于且与圆相切于下方时，取最小值12图 2 故  cc1221，从而。 2. 由数想形，直观显现 例 3. 解不等式42xxx。 分析：设 f xxx( ) 42 ， g xx x( )() 0 ， 由 yxx42 得： ()()xyy24022 因为 yxx4202 表示以，为圆心，()2 为半径，在 x 轴上方的半圆，yx x()0 表示过原点斜率为 1 在第一象限的直线，如图 3，由题意转化要求半圆（圆弧）应在直线的下方，可得24x，1图 3 故原不等式的解集是（2，4] 例 4. 求使不等式log ()21xx成立的 x 的取值范围。（03 年全国高考题 14） 解： 设f xx( )log ()2， g xx( )  1 因为 函数f xx( )log ()2的图象与函数 yxlog2图象关于 y 轴对称， g xx( )  1的图象是一条过点（0，1）的直线 由图 4 可得  10x图 4 例 5. 已知abR，  且 xaxb220 ， xbxa220 都有实根，求ab 的取值范围。 解：依题意得 abba22800， 即 abba228， （*） 则满足（*）的点（a，b）在图 5 所示的阴影区域内。图 5 设zab ，则zab 所表示的直线系中，过点 A（4，2）的直线在 b 轴上的截距即为满足（*）的 z 的最小值。 所以 () minab 426 故 ab 6 3. 由数构形，抽象变形象 例 6. 设 f xg x( )( )、分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 当 x  0时 ，fx g xf ...