高考达标检测（四十二）——圆锥曲线的综合问题最值、范围、证明问题1．已知A，B分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴与短轴的一个端点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，D是椭圆上的一点，△DF1F2的周长为6，|AB|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)若P是圆x2＋y2＝7上任一点，过点P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，求证：PM⊥PN.解：(1)由△DF1F2的周长为6，得2a＋2c＝6，由|AB|＝，得a2＋b2＝7，又b2＋c2＝a2，∴a＝2，b＝，c＝1.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：①当切线PM的斜率不存在或为零时，此时取P(2，)，显然直线PN：y＝与直线PM：x＝2恰是椭圆的两条切线．由圆及椭圆的对称性，可知PM⊥PN.②当切线PM，PN斜率存在且不为零时，设切线PM的方程为y＝k1x＋m，PN的方程为y＝k2x＋t，P(x0，y0)(x0≠±2)，由消去y，得(4k＋3)x2＋8k1mx＋4(m2－3)＝0， PM与椭圆C相切，∴Δ＝64km2－16(4k＋3)(m2－3)＝0，∴m2＝4k＋3. y0＝k1x0＋m，∴m＝y0－k1x0，∴(y0－k1x0)2＝4k＋3.即(x－4)k－2x0y0k1＋y－3＝0；同理(x－4)k－2x0y0k2＋y－3＝0，∴k1，k2是方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－3＝0的两个根，又 点P在圆上，∴x＋y＝7，∴y＝7－x，∴k1k2＝＝＝－1，∴PM⊥PN.综上所述，PM⊥PN.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆M：x2＋2＝上．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|＋|CD|的最小值．解：(1)由题意可知2b＝2，b＝1.又椭圆C的顶点在圆M上，则a＝，故椭圆C的方程为＋x2＝1.(2)当直线AB的斜率不存在或为零时，|AB|＋|CD|＝3；当直线AB的斜率存在，且不为零时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2),联立消去y，整理得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，故|AB|＝·＝.同理可得：|CD|＝，∴|AB|＋|CD|＝.令t＝k2＋1，则t＞1,0<<1，∴|AB|＋|CD|＝＝＝，当0<<1时，2＜－2≤＋，∴≤|AB|＋|CD|＜3，≤综上可知，|AB|＋|CD|≤3，∴|AB|＋|CD|的最小值.3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为，P为C上的动点，且满足F2P＝λPQ(λ>0)，|PQ|＝|PF1|，△QF1F2面积的最大值为4.(1)求点Q的轨迹E的方程和椭圆C的方程；(2)直线y＝kx＋m(m＞0)与椭圆C相切且与曲线E交于M，N两点，求S△F1MN的取值范围．解：(1)由椭圆定义得：|F2Q|＝|F2P|＋|PQ|＝|F2P|＋|PF1|＝2a，所以点Q的轨迹是以F2为圆心，2a为半径的圆．当QF2⊥F1F2时，△QF1F2面积最大，所以×2c×2a＝4，即ac＝2.又＝，可得a＝2，c＝1.所以点Q的轨迹E的方程为x2＋(y＋1)2＝16，椭圆C的方程＋＝1.(2)由消去y，整理得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，则Δ＝36k2m2－4(3k2＋4)(3m2－12)＝0，化简得3k2－m2＋4＝0，即k2＝.由k2≥＝0及m＞0，得m≥2.设圆心F2(0，－1)到直线MN的距离为d，则d＝＝，所以弦长|MN|＝2＝2.设点F1(0,1)到直线MN的距离为h，则h＝＝，所以S△F1MN＝|MN|·h＝＝.由m≥2，得∈[，)，所以S△F1MN的取值范围为[，)．4.如图，椭圆E的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2.(1)求椭圆E的方程；(2)直线y＝kx＋m(k＞0)交椭圆于C，D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M，N两点(M，N不重合)，且|CN|＝|DM|，求k的值；(3)在(2)的条件下，若m＞0，设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．解：(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，由|AB|＝4，|F1F2|＝2，可知a＝2，c＝，则b＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)设D(x1，y1)，C(x2，y2)，易知N(0，m)，M，由消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ＞0，得4k2－m2＋1＞0，即m2＜4k2＋1，且x1＋x2＝，x1x2＝.又|CM|＝|DN|，即CM＝ND，可得x1＋x2＝－，即＝－，解得k＝.(3)＝＝＝＝＝2.由题知，点M，F1的横坐标xM≥xF1，有－2m≥－，则m∈，满足m2＜2.即＝－＝－1＋，则∈(1,7＋4]，所以的取值范围为(1,97＋56]．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右准线l的方程为x＝，短轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过定点B(1,0)作直线l与椭圆C相交于P，Q(异于A1，A2)两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M(2x0，y0)．①试用x0，y0表示点P，Q的坐标；②求证：点M始终在一条定...
