江苏省响水中学 2013-2014 学年高二上学期数学《第 43 课时 空间向量处理角的问题》学案【基础训练】1.正三棱锥的三个侧面两两垂直,则它的侧棱与底面所成角的余弦值为___________.2.已知正方形 ABCD 的边长为 4,CG平 面 ABCD,CG=2,EF 分别为 ABAD 的中点,则点 C到平面 GEF 的距离为_________.3 如图，已知正三棱柱111ABCA B C的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1ABBM和所成的角的大小是_______________________ (第3 题图) (第 4 题图)4.如图，若正四棱柱1111ABCDA B C D的底面连长为 2，高为 4，则异面直线1BD 与 AD所成角的正切值_____________5．如图，在长方体 ABC D-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为________. 【重点讲解】1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线 l1，l2的方向向量分别为 m1，m2，则 l1与 l2所成的角 θ 满足 cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 α 所成角 θ满足 sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD 是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈AB，CD〉．2°如图②③，n1，n2分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．3.点面距的求法1如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则B到平面 α 的距离 d＝.【典例分析】例 1．如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形, ∠BAC=90°, AB=AC=2 , AA1=2, D , E , F, G 分别为棱 BB1 , CC1 , BC , AA1的中点.（1)求异面直线 FG 与 A1B 所成的角;(2)求锐二面角 A-DE-C 的大小;(3)求直线 BA1与平面 ADE 所成的角.例 2.在三棱锥 S—ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，SA＝SC＝2，M、N 分别为 AB、SB 的中点，如图所示. 求点 B 到平面 CMN 的距离．例 3.在四棱锥中，，底面是菱形，.2(Ⅰ)求证：（Ⅱ）若，求与所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.例 4.如图，已知正三棱柱的各棱长都是 4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．（Ⅰ）当=1 时，求证：；(Ⅱ）设二面角的大小为，求的最小值． 【巩固迁移】1. 在 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz 中 ，=(0,1,0), =(1,0,0), =(2,0,0), =(0,0,1).(1)设=（1,p,q）,且平面 SBC，求；3NMABDCO（2）求 OA 与平面 SBC 所成角的正弦值；（3）求点 O 到平面 SBC 的距离； （4）求二面角的余弦值.2. 如 图 ， 在 四 棱 锥中 ， 底 面四 边 长 为 1 的 菱 形 ，, , ,为的中点，为的中点（Ⅰ）证明：直线；（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。4ABCOxyz
