高考达标检测（十三）极值、最值两考点，利用导数巧推演一、选择题1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝1或－1或0D．x＝0解析：选C f(x)＝x4－2x2＋3，∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，又当x<－1时，f′(x)<0，当－10，当01时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为()A．－B．－2C．－2或－D．2或－解析：选A由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－.3．(2018·浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于()A.B.C.D.解析：选C由图象可知f(x)过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，有以下命题：①f(x)的解析式为：f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于零．其中正确的命题个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选Cf′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，所以解得则f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]，故①正确；f′(x)＝3x2－4，令f′(x)＝0，解得x＝±∈[－2,2]，易知，x＝±均为函数的极值点，故②错误；易知函数f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]是奇函数，所以最大值与最小值之和为0，故③正确．因此，正确命题的个数为2，故选C.5．(2017·长沙二模)已知函数f(x)＝(a＞0)在[1∞，＋)上的最大值为，则a的值为()A.－1B.C.D.＋1解析：选A由f(x)＝，得f′(x)＝，当a＞1时，若x＞，则f′(x)＜0，f(x)单调递减，若1＜x＜，则f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝时，函数f(x)有最大值＝，得a＝＜1，不合题意；当a＝1时，函数f(x)在[1∞，＋)上单调递减，最大值为f(1)＝，不合题意；当0＜a＜1时，函数f(x)在[1∞，＋)上单调递减，此时最大值为f(1)＝＝，得a＝－1，符合题意．故a的值为－1，选A.6．已知直线l1：y＝x＋a分别与直线l2：y＝2(x＋1)及曲线C：y＝x＋lnx交于A，B两点，则A，B两点间距离的最小值为()A.B．3C.D．3解析：选D由得A(a－2,2a－2)，由得B(ea，a＋ea)，|AB|＝＝(ea－a＋2)，令g(a)＝ea－a＋2，则g′(a)＝ea－1，g(a)在(∞－，0)上递减，在(0∞，＋)上递增，所以g(a)在a＝0处取得最小值g(0)＝3，所以A，B两点间距离的最小值为3.二、填空题7．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．解析：因为f(x)的定义域为(0∞，＋)，又f′(x)＝4x－，由f′(x)＝0，得x＝.据题意解得1≤k<.答案：8．已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为________．解析：f′(x)＝－k＝(x>0)．设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1∞，＋)上单调递增．∴g(x)在(0∞，＋)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e.答案：(∞－，e]9．(2018·湘中名校联考)已知函数g(x)＝a－x2≤x≤e，e为自然对数的底数与h(x)＝nx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________．解析：由题意，知方程x2－a＝2lnx，即－a＝2lnx－x2在上有解．设f(x)＝2lnx－x2，则f′(x)＝－2x＝－.易知x∈时，f′(x)>0，x∈[1，e]时f′(x)<0，所以函数f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f(x)极大值＝f(1)＝－1，又f(e)＝2－e2，f＝－2－，f(e)
