第 2 讲 线性规划与基本不等式[考情考向分析] 1.线性规划的要求是 A 级，主要考查线性目标函数在给定区域上的最值.2.基本不等式是江苏考试说明中的 C 级内容，高考会重点考查．主要考查运用基本不等式求最值及其在实际问题中的运用，试题难度中档以上．热点一 简单的线性规划问题例 1 (1)(2017·全国Ⅰ)设 x，y 满足约束条件则 z＝3x－2y 的最小值为________．答案 －5解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由 z＝3x－2y 得 y＝x－，求 z 的最小值，即求直线 y＝x－在 y 轴上的截距的最大值，当直线 y＝x－过图中点 A 时，其在 y 轴上的截距最大，由解得 A 点坐标为(－1,1)，此时 z＝3×(－1)－2×1＝－5.(2)已知实数 x，y 满足则的取值范围是________．答案 解析 不等式组对应的平面区域是以点(3，－1)，(3,2)和为顶点的三角形及其内部，设 z＝，则 z 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当 z＝经过(3，－1)时取得最小值－，经过点(3,2)时取得最大值，故的取值范围是.思维升华 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是： 画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较；一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练 1 (1)设变量 x，y 满足约束条件若目标函数 z＝ax＋y 的最小值为－2，则 a＝________.答案 －2解析 约束条件对应的可行域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形及其内部．当a≥－1 时，当目标函数所在直线 y＝－ax＋z 经过点(1,1)时，z 取得最小值，则 zmin＝a＋1＝－2，即 a＝－3(舍去)；当 a<－1 时，当目标函数所在直线 y＝－ax＋z 经过点(2,2)时，z取得最小值，则 zmin＝2a＋2＝－2，即 a＝－2，符合题意，故 a＝－2.(2)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素 A(单位/kg)维生素 B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素 A，B 的含量分别不低于 100,120 单位则混合物重量的最小值为________ kg.答案 30解析 设甲食物重 x kg，乙食物重 y kg， 维生素 A，B 的含量分别不低于 100,120 单位，∴由得A(20,10)，混合物重 z＝x＋y，平移直线 z＝x＋y，由图知，当直线过 A(20,10)时，z 取最小值为 20＋10＝30.热点二 利用基本不等式求最值例 2 (1)(2018·苏北六市模拟)已知 a，b，c 均为正...
