河北省石家庄市第一中学 2014 高中数学 2.5 等比数列前n 项和教案 新人教 A 版必修 5法一：举例： 作差 ．若对于一般数列，，①等式两边同时乘以公比，得②由①－②得：．当时，；又，代入可得：；当时，．法二：由等比数列的定义，，根据等比的性 质，有，即（结论同上）．法三： （结论同上）．1说明：1 方法：错位相减法（适用与一个等差和一个等比对应项相乘所得的数列求和）等式两边同时乘以等比数列的公比，可得到错位的形式．2 五个量，知三求二．3 要使用等比数列前项和公式，须分和讨论．4， ，，……满足等式但是不能说三者是成等比的，因为不知是否非零．若等比，则公比为．举例：，为偶数时，，满足，但不等比．5 若项数为偶数，则奇数项和与偶数项和之间的关系如下：6 推导过程中蕴含的重要的数学思想： （1）化归思想：通过错位相减将多项问题化归为少项问题． （2）方程思想：通过错位相减建立起 关于的方程． （3）分类讨论思想：在解关于的方程时，应进行分类．二、应用举例：1．公式的应用：例 1．（见课本 P56 例 1）直接应用公式．例 2．（1）等比数列中，，求．（2）等比数列中，，求．解：（1）．（2）由题，得，．例 3．（见课本 P56 例 2）应用题，且是公式逆用（求 ），要用对数算．例 4．（见课本 P57 例 3）2．证明等比问题：例 1．已知的前项和，证明：为等比数列．证明：的方程． 等比 ∴ ∴ 又，∴．已知．时，；2 时， 又符合上式，∴ ． （非零常数） ∴ 为等比数列．注意：是判断数列等比的一个方法．例2 ． 设 数 列前项 之 和 为， 若， 且，问：数列成等比数列吗？解： ，∴ ，即，故，∴ 成等比数列． 又． ∴ 不成等比数列，但当时成，即：．3．综合应用：例 1．在等比数列中，，求．解：由得，∴ ， ．∴ 为等比数列，公比为 4，首项为 1．∴ ．例 2．为等比数列，，前项和为 80，其中最大的一项为 54，又它的前项和为 6560，求． 解：当时， 与已知矛盾，故． 由 得 ，∴ 且 ∴ 数列为增数列，前项中最大，∴ 将代入，得 ∴ ．3注意：等比数列中的等式多作商．例 3．为等比数列，前项和为，，求公比．解： 方法一：利用基本量当时，，又，不复合题意．∴．∴ 即，由得，∴．方法二：整体代换（避免分类讨论）设数列前 9 项为， ∴ ， ∴ 得．例 4．由正数组成的等比数列，若前 2项和等于它前 2项...
