听课随笔第 9 课时 解三角形复习课(1)、(2)学习要求 1． 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；2． 能利用计算器解决三角形的计算问题。【课堂互动】自学评价1．正弦定理：txjy(1)形式一：= 2R ；形式二：；；；（角到边的转换）形式三：，，；（边到角的转换）形式四：；（求三角形的面积）(2)解决以下两类问题： 1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解） 2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。(3)若给出那么解的个数为：若，则无解；若，则一解；若，则两解；2．余弦定理：txjy(1)形式一：，，形式二：，，，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）【精典范例】一、判定三角形的形状【例 1】根据下列条件判断三角形 ABC 的形状：(1) 若 a2tanB=b2tanA；(2) b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;(3) (3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1.【解】(1)由已知及正弦定理得(2RsinA)2 = (2RsinB)2 2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B用心 爱心 专心12cos(A + B)sin(A – B)=0∴ A + B=90o 或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形.(2)由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,故△ABC 是直角三角形.(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1[2sincos+ sin(A + B)] – [2coscos+ 2cos2- 1]=0[2sincos+ sin(A + B)] – 2coscos - 2sin2=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin( - )sinsin=0△ABC 是 Rt△.二、三角形中的求角或求边长问题【例 2】△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边 AB、BC、CA 上取点 D、E、F，使△DEF 是等边三角形.设∠FEC=α，问 sinα 为何值时，△DEF 的边长最短？并求出最短边的长。分析：要求最短边的长，需建立边长关于角 α 的目标函数。用心 爱心 专心2听课随笔【解】设△DEF 的边长为 x，显然∠C=90°，∠B=60°，故 EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE 中，由正弦定理得，所以 ，因为 BE+EC=BC，所以，所以 当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。【例 3】在△ABC ...
