听课随笔第 7 课时等差数列的前 n 项和（2）【学习导航】知识网络 学习要求 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题【自学评价】1. 等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，那么数列 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k……(k∈N*)成等差数列，公差为 k 2 d .2.在等差数列{an}中，若 a1＞0，d＜0，则 Sn存在最大值.若 a1＜0,d＞0，则 Sn存在最小值.3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)利用:当>0，d<0，前n项和有最大值奎屯王新敞新疆可由≥0，且≤0，求得n的值奎屯王新敞新疆当<0，d>0，前 n 项和有最小值奎屯王新敞新疆可由 ≤0，且≥0，求得 n 的值奎屯王新敞新疆(2)利用：由二次函数配方法求得最值时n的值奎屯王新敞新疆【精典范例】【例 1】已知一个等差数列的前四项和为 21，末四项和为 67，前项和为 286，求数列的项数。分析 条件中的 8 项可分为 4 组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。【解】 ，，。【例 2】已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它们的前 n 项和分别是 Sn、Sn′，若,求.【解法一】 2a9=a1+a17,2b9=b1+b17,∴S17==17a9,用心 爱心 专心1S17′==17b9,∴.【解法二】 ｛an｝、｛bn｝是等差数列，∴可设 Sn=An2+Bn,Sn′=A’n2+B′n(A、B、A′、B′∈R), ,进而可设 Sn=(2n2+3n)t,Sn′=(3n2－n)t(t∈R,t≠0),∴an=Sn－Sn－1=(2n2+3n)t－［2(n－1)2+3(n－1)t］=(4n+1)t,∴a9＝37t.同理可得 bn=Sn′－Sn－1′=(3n2－n)t－［3(n－1)2－(n－1)］t=(6n－4)t,∴b9=50t,∴.【例 3】数列｛an｝是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.(1)求数列的公差.(2)求前 n 项和 Sn的最大值.(3)当 Sn＞0 时，求 n 的最大值.【解】 (1)由已知 a6=a1+5d=23+5d＞0,a7=a1+6d=23+6d＜0,解得:－＜d＜－,又 d∈Z,∴d=－4(2) d＜0，∴{an}是递减数列，又 a6＞0，a7＜0∴当 n=6 时，Sn取得最大值，S6=6×23+ (－4)=78(3)Sn=23n+ (－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞0∴0＜n＜,又 n∈N*,所求 n 的最大值为 12.点评： 可将本题中的公差为整数的条件去掉，再考虑当 n 为何值时，数列{an}的前 n 项和取到最大值.【例 4】等差数列中，该数列的前多少项和最小？思路 1：求出的函数解析式（n 的二次函数, ），再求函数取得最小值时的 n 值.思路 2：公差不为 0 的等差数列等差数...
