函数的奇偶性1.奇函数、偶函数的概念1 ．奇函数、偶函数的定义 偶函 数的定义：一般地，对于函数的定义域内的( )，都有( ),那么就叫做偶函数.奇函数的定义：一般地，对于函 数的定义域内的( )，都有( )，那么就叫做奇函数．2 ．函数奇偶性的分类 对于我们所接触到的函数,如果我们利用函数的奇偶性的定义加以判断的话,可以发现,所有的函数分为 了四类:有的函数是奇函 数,有的函数是偶函数,也有的函数对于其定义域内的 任 意 一 个,与能 够 同 时 成 立 , 那 么 函 数 称 为 ( );也有的函数对于其定义域内的任意一个,与都不成立,那么函数称为( ).所有的函数均在这四类之中,无一例外.【梳理·总结】 关于函数奇偶性质的几个未成文的规定 (1)奇函数或偶函数的定义域必须关于原点对称,如果定义域不关于原点对称,那么此函数既不是奇函数又不是偶函数;(2)判断函数的奇偶性,包括判断一个函数是奇函数,或者是偶函数,或者既是奇函数又是偶函数,或者既不是奇函数又不是偶函数,对于函数的奇偶性一定要判断清楚,不能似是而非.典例 1.判断下列函数的奇偶性.(1); (2); (3).2.函数奇偶性的性质① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.② 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称.③ 若为偶函数，则.④ 若奇函数定义域中含有 0，则必有.⑤ 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函 数的 和 （ 或 差 ） ” . 如 设是 定 义 域 为 R 的 任 一 函 数 ， 则，.⑥ 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.⑦ 既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.典例 2.已知函数是奇函数,且,求的值.3.奇函数与偶函数的判断方法1 ．定义法 根据函数奇偶性的定义直接加以判断,这种判断方法称之为定义法.利用定义法判断函数 的 奇 偶 性 的 步 骤 :(1) 考 察 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 ;(2) 验 证或对定义域中的任意的值是否成立;(3)得出结论.2 ．利用定义的等价形式 从函数的奇偶性的概念可以发现, 是与等价的, 是 与等 价 的 , 也 就 是 说 , 判 断或在定义域中是否为恒等式,也可以判断函数的奇偶性.上述两式也可以用代替.另外,对于奇函数,若 0 在其定义域内,则一定有;对于偶函数,有3...
