初中数学讨论网·2025 年中考数学佳题赏析讨论（4）桂林中考数学第 26 题改编题（2）推举星级☆☆☆☆如图③，已知直线，它与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 两点．(1)若点 P 在 x 轴的上方,⊙P 经过点 B,且与 x 轴相切,设点 P 的坐标为(x,y)，求 y 与 x 的函数关系式； (2)是否存在这样的⊙P，既与 x 轴相切又与直线 l 相切于点 B?若存在，求出圆心 P 的坐标；若不存在，请说明理由．〖搜索词·构造直角三角形·直线与圆相切·用列方程的方法建立函数关系式·点的存在性探究·位置讨论〗提示：(1)如图乙,设在第一象限内存在满足条件的点 P,F 为切点, 连接PB,PF.过点 P 作 PD⊥y 轴于 D，则 PD=x, DO=PF=y,BD=BO-DO=|3-y|=3-y.∵,PB=PF=y,∴.∴y 与 x 的函数关系为.易知:若点 P 在第二象限, y 与 x 的函数关系仍然为.〖评析〗(1)解题的关键是:构造直角三角形 BPD,用勾股定理列出关于 y 与 x的方程,把方程变形,就得到 y 关于 x 的函数关系式;(2)不要忘记探究点 P 在第二象限时,y 与 x 的函数关系;(3)若在图乙中画出的草图,可以帮助你直观地了解点 P 运动的全过程.(2)满足条件的⊙P 有两个, 如图丙,其中一个圆心在第一象限.设⊙P 与 x 轴相切于点 G.由圆的轴对称性得 AB=AG..∵,∴AG=AB=5.∵OA=4,∴OG=1.则 G(1,0).同理可求,若点 P 在第二象限,则 G(-9,0).由(1)得点 P 的坐标(x,y)满足,把 x=1 或 x=-9 分别代入，得,或 y=15.∴点 P 的坐标为（1, ）或（-9，15）.〖评析〗(1)讨论空间与图形时,要养成良好的习惯: 首先考虑图形的位置,然后再讨论图形的形状和大小;(2)第(2)小题可以使用第(1)小题的结论().
