青海师范大学附属第二中学高中数学 1.6 微积分的基本原理导学案 新人教 A 版选修 2-2[学习要求]1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．[学法指导]通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法.1． 微积分基本定理：如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且__________，那么 ʃf(x)dx＝__________.2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则 ʃf(x)dx＝______.(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)，则 ʃf(x)dx＝______.(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则 ʃf(x)dx＝__________，若 S 上＝S 下，则 ʃf(x)dx＝____.探究点一 微积分基本定理课堂引入 你能用定义计算 ʃdx 吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？问题 1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y＝y(t)，并且 y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻 t 的速度 v(t)＝y′(t)．设这个 物体在时间段[a，b]内的位移为 s，你能分别用 y(t)，v(t)表示 s 吗？问题 2 对一个连续函数 f(x)来说，是否存在唯一的 F(x)，使 F′(x)＝f(x)?例 1 计算下列定积分：(1)ʃdx；(2)ʃ (2x－)dx；(3)ʃ (cosx－ex)dx.跟踪训练 1 计算下列定积分：(1)ʃ5x4dx； (2)ʃ (＋)26xdx.探究点二 分段函数的定积分例 2 已知函数 f(x)＝先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．跟踪训练 2 (1)设 f(x)＝求 ʃf(x)dx；(2)求 ʃdx(a>0)．探究点三 定积分的应用例 3 计算下列定积分：ʃsinxdx，ʃsinxdx，ʃsinxdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．45跟踪训练 3 求曲线 y＝sin x 与直线 x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．[达标检测]1． 等于（ ）A．π B．2 C．π－2 D．π＋22．若 ʃ (2x＋)dx＝3＋ln 2，则 a 的值是（ ）A．5 B．4 C．3 D．23．ʃ (x2－x)dx＝________.4．已知 f(x)＝ ，计算 ʃf(x)dx.[小结]相反数．46
