椭圆考向一：椭圆定义及焦点三角形1、【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆 C 的焦点为，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点．若，，则 C的方程为A．B．C．D．【解析】如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选 B．2、【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】设为椭圆 C:的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则 M 的坐标为___________.【解析】由已知可得，，∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．巩固迁移：(2018·安徽皖江模拟)已知 F1，F2是长轴长为 4 的椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，则△PF1F2面积的最大值为________．解析 解法一： △PF1F2 的面积为|PF1||PF2|·sin∠F1PF2≤2＝a2 2a＝4，∴a2＝4，∴△PF1F2面积的最大值为 2.解法二：由题意可知 2a＝4，解得 a＝2.当 P 点到 F1F2距离最大时，△PF1F2面积最大，此时 P 为短轴端点，S△PF1F2＝·2c·b＝bc.又 a2＝b2＋c2＝4，∴bc≤＝2，∴当 b＝c＝时，△PF1F2面积最大值为 2.考向二：椭圆标准方程1、［2016•全国Ⅰ，20］设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1，0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；解 (1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆 A 的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得 A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．变式训练： 【2019 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:的焦点为 F1（–1、0），F2（1，0）．过 F2作 x 轴的垂线 l，在 x轴的上方，l 与圆 F2:交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1并延长交圆F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1．已知 DF1=．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标．【解析】（1）设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F1(1− ，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1.又因为 DF1=，AF2⊥x 轴，所以 DF2=，因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2.由 b2=a2−c2，得 b2=3.因此，椭圆 C 的标准方程为.（2）由（1）知，椭圆 C：.如图，连结 EF1.因...
