高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第9节 圆锥曲线中的定点与定值问题教学案 文 北师大版-北师大版高三全册数学教学案

第九节 圆锥曲线中的定点与定值问题(对应学生用书第 167 页)⊙考点 1 定点问题 圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线和圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． (2019·开封模拟)已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点 F(，0)，长半轴的长与短半轴的长的比值为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设不经过点 B(0,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，若点 B 在以线段 MN 为直径的圆上，证明直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．[解](1)由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1.∴椭圆 C 的标准方程为＋y2＝1.(2) 当 直 线l的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线l的 方 程 为y ＝ kx ＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立消去 y，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝. 点 B 在以线段 MN 为直径的圆上，∴BM·BN＝0. BM·BN＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，整理，得 5m2－2m－3＝0，解得 m＝－或 m＝1(舍去)．∴直线 l 的方程为 y＝kx－.易知当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线 l 过定点，且该定点的坐标为. 对于直线 y＝kx＋m，当 m 为定值或 m＝f(k)时，便可确定直线过定点，因此根据条件求出 m 的值或 m 与 k 的关系便可求出定点．[教师备选例题] 已知椭圆 E：＋＝1(a＞b＞0)经过点 P(2,1)，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设 O 为坐标原点，在椭圆的短轴上有两点 M，N 满足OM＝NO，直线 PM，PN 分别交椭圆于 A，B 两点，试证明直线 AB 过定点．[解](1)由椭圆的离心率 e＝＝＝，得 a2＝4b2，将 P(2,1)代入椭圆方程＋＝1，得＋＝1，解得 b2＝2，则 a2＝8，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)证明：当 M，N 分别是短轴的端点时，显...