高考数学一轮复习统考 第9章 平面解析几何 高考大题冲关系列（5）高考解析几何中的热点题型学案（含解析）北师大版-北师大版高三全册数学学案

高考解析几何中的热点题型命题动向：从近五年的高考试题来看，圆锥曲线问题在高考中属于必考内容，并且常常在同一份试卷上多题型考查．对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法：第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识；第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题，解决此类问题的关键是通过联立方程来解决．题型 1 最值、范围问题角度 1 最值问题例 1 (2020·武汉摸底)如图，已知椭圆 C 的方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线－＝1 的两条渐近线为 l1，l2.过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l，使 l⊥l1.设直线 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A，B，直线 l 与直线 l2交于 P 点．(1)若 l1与 l2的夹角为 60°，且双曲线的焦距为 4，求椭圆 C 的方程；(2)求的最大值．解 (1)因为双曲线方程为－＝1，所以双曲线的渐近线方程为 y＝±x，因为两渐近线的夹角为 60°且<1，所以∠POF＝30°，所以＝tan30°＝，所以 a＝b，由于双曲线的半焦距为 2所以 a2＋b2＝22，所以 a＝，b＝1，所以椭圆 C 的方程为＋y2＝1.(2)因为 l⊥l1，设椭圆 C 的右焦点为 F(c,0)，所以直线 l 的方程为 y＝(x－c)，其中 c＝，因为直线 l2的方程为 y＝x，联立直线 l 与直线 l2的方程解得点 P.设＝λ，A 点的坐标为(x0，y0)，且 F 点的坐标为(c,0)，则 FA＝λAP，所以(x0－c，y0)＝λ，解得 x0＝，y0＝，因为点 A(x0，y0)在椭圆＋＝1 上，所以＋＝1，即(c2＋λa2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2，等式两边同除以 a4得(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2，e∈(0,1)．所以 λ2＝，设 2－e2＝t，则 e2＝2－t，因为 e∈(0,1)，所以 e2∈(0,1)，t∈(1,2)，λ2＝＝＝－＋3≤－2＋3＝3－2＝(－1)2，取等号时，t＝⇔t＝∈(1,2)，此时 2－e2＝，e＝，所以 λ2的最大值为(－1)2，所以 λ＝的最大值为－1.[冲关策略] 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．变式训练 1 (2019·浙江高考)如图，已知点 F(1,0)为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点．过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC ...