学业分层测评(九)(建议用时：45 分钟)[学业达标]一、填空题1．(2025·浙江高考改编)设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面．下列命题中正确的序号是__________．(1)若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α；(2)若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α；(3)若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α；(4)若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
【解析】 (1)中，由 m⊥n，n∥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误；(2)中，由 m∥β，β⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误；(3)中，由 m⊥β，n⊥β 可得 m∥n，又 n⊥α，所以 m⊥α，正确；(4)中，由 m⊥n，n⊥β，β⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误．【答案】 (3)2．如图 1298，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角 C1BDC 的大小为________．图 1298【解析】 如图，取 BD 中点 O，连结 OC，OC1， AB＝AD＝2，∴CO⊥BD，CO＝
CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD
∴∠C1OC 为二面角 C1BDC 的平面角，∴tan∠C1OC＝＝＝，∴∠C1OC＝30°，即二面角 C1BDC 的大小为 30°
【答案】 30°3．下列四个命题：① 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；② 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③ 假如两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④ 假如两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中真命题的序号是________
【导学号：60420253】【解析】 根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故①正确；过平面外一点有无数条
