学业分层测评(九)(建议用时：45 分钟)[学业达标]一、填空题1．(2025·浙江高考改编)设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面．下列命题中正确的序号是__________．(1)若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α；(2)若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α；(3)若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α；(4)若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α.【解析】 (1)中，由 m⊥n，n∥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误；(2)中，由 m∥β，β⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误；(3)中，由 m⊥β，n⊥β 可得 m∥n，又 n⊥α，所以 m⊥α，正确；(4)中，由 m⊥n，n⊥β，β⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误．【答案】 (3)2．如图 1298，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角 C1BDC 的大小为________．图 1298【解析】 如图，取 BD 中点 O，连结 OC，OC1， AB＝AD＝2，∴CO⊥BD，CO＝. CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.∴∠C1OC 为二面角 C1BDC 的平面角，∴tan∠C1OC＝＝＝，∴∠C1OC＝30°，即二面角 C1BDC 的大小为 30°.【答案】 30°3．下列四个命题：① 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；② 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③ 假如两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④ 假如两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中真命题的序号是________. 【导学号：60420253】【解析】 根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故①正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故②不正确；根据平面与平面平行的性质定理知③正确；根据两个平面垂直的性质知④正确．从而正确的命题有①③④.【答案】 ①③④4．如图 1299 所示，在三棱锥 PABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，则二面角 BPAC的大小为________．图 1299【解析】 PA⊥平面 ABC，BA，CA⊂平面 ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC 即为二面角 BPAC 的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角 BPAC 的大小为 90°.【答案】 90°5．已知三棱锥 DABC 的三个侧面与底面全等，且 AB＝AC＝，BC＝2，则二面角 DBCA 的大小为________．【解析】 如图，由题意知 AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.取 BC 的中点 E，连结 DE，AE，则 AE⊥BC，DE⊥BC...
