半角模型专题专练

半角模型例题已知,正方形 ABCD 中,∠EAF 两边分别交线段 BC、DC 于点 E、F,且∠EAF﹦45° 结论 1:BE﹢DF﹦EF结论 2:S△ABE﹢S△ADF﹦S△AEF结论 3:AH﹦AD结论 4:△CEF 得周长﹦2 倍得正方形边长﹦2AB结论 5:当 BE﹦DF 时,△CEF 得面积最小结论 6:BM2﹢DN2﹦MN2结论 7:三角形相似,可由三角形相似得传递性得到结论 8:EA、FA 就是△CEF 得外角平分线结论 9:四点共圆结论 10:△ANE 与△AMF 就是等腰直角三角形(可通过共圆得到)结论 11:MN﹦EF(可由相似得到)结论 12:S△AEF﹦2S△AMN(可由相似得性质得到)结论 5 得证明:设正方形 ABCD 得边长为 1则 S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣S3 ﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1﹣x)(1﹣y) ﹦ ﹣ xy所以当 x﹦y 时,△AEF 得面积最小结论 6 得证明:将△ADN 顺时针旋转 90°使 AD 与 AB 重合∴DN﹦BN′易证△AMN≌△AMN′∴MN﹦MN′在 Rt△BMN′中,由勾股定理可得:BM2﹢BN′2﹦MN′2即 BM2﹢DN2﹦MN2结论 7 得所有相似三角形:△AMN∽△DFN△AMN∽△BME△AMN∽△BAN△AMN∽△DMA△AMN∽△AFE结论 8 得证明:因为△AMN∽△AFE∴∠3＝∠2因为△AMN∽△BAN∴∠3＝∠4∴∠2＝∠4因为 AB∥CD∴∠1＝∠4∴∠1＝∠2结论 9 得证明:因为∠EAN﹦∠EBN＝45°∴A、B、E、N 四点共圆(辅圆定理:共边同侧等顶角)同理可证 C、E、N、F 四点共圆A、M、F、D 四点共圆C、E、M、F 四点共圆 **必会结论-------- 图形讨论正方形半角模型已 知 : 正 方 形,、分 别 在 边、上 , 且,、分别交于、,连、一、全等关系(1)求证:①;②DG2﹢BH2﹦HG2;③平分,平分、二、相似关系(2)求证:①;②;③、(3)求证:④;⑤;⑥、三、垂直关系(4)求证:①;②;③、(5)、与差关系求证:①;②;③、例 1、在正方形 ABCD 中,已知∠MAN﹦45°,若 M、N 分别在边CB、DC 得延长线上移动, ①、试探究线段 MN、BM 、DN 之间得数量关系、 ②、求证:AB=AH、例 2、在四边形 ABCD 中,∠B+∠D﹦180°,AB=AD,若 E、F 分别在边 BC、CD 上,且满足 EF=BE +DF、求证:∠EAF＝ ∠BAD例 3 、 在 △ ABC 中 ,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=120°, 若BD=5,CE=8,求 DE 得长。例 4、请阅读下列材料:已知:如图 1 在中,,,点、分别为线段上两动点,若.探究线段、、三条线段之间得数量关系.小明得思路就是:把绕点顺时针旋转,得到,连结,使问题得到解决.请您参考小明得思路探究并解决下列问题:(1)猜想、、三条线段之间存在得数...