第 二 章 第 6 节:函数得微分教学目得:掌握微分得定义,了解微分得运算法则,会计算函数得微分,会利用微分作近似计算教学重点:微分得计算教学难点:微分得定义,利用微分作近似计算教学内容:1
微分得定义计算函数增量就是我们非常关怀得
一般说来函数得增量得计算就是比较复杂得 ,我们希望寻求计算函数增量得近似计算方法
先分析一个具体问题,一块正方形金属薄片受温度变化得影响,其边长由变到(图 21),问此薄片得面积改变了多少
设此薄片得边长为,面积为,则就是得函数:
薄片受温度变化得影响时面积得改变量,可以瞧成就是当自变量自取得增量时,函数相应得增量,即
从上式可以瞧出,分成两部分,第一部分就是得线性函数,即图中带有斜线得两个矩形面积之与,而第二部分在图中就是带有交叉斜线得小正方形得面积,当时,第二部分就是比高阶得无穷小,即
由此可见,假如边长改变很微小,即很小时,面积得改变量可近似地用第一部分来代替
一般地,假如函数满足一定条件,则函数得增量可表示为,其中就是不依赖于得常数,因此就是得线性函数,且它与之差,就是比高阶得无穷小
所以,当,且很小时,我们就可近似地用来代替
定义 设函数在某区间内有定义,及 x 在这区间内,假如函数得增量可表示为 , ①其中就是不依赖于得常数,而就是比高阶得无穷小,那么称函数在点就是可微得,而叫做函数在点相应于自变量增量得微分,记作,即
定理 1 函数在点可微得充分必要条件就是函数在点可导,且当在点可微时,其微分一定就是
设函数在点可微,则按定义有①式成立
①式两边除以,得
于就是,当时,由上式就得到
因此,假如函数在点可微,则在点也一定可导(即存在),且
反之,假如在点可导,即存在,根据极限与无穷小得关系,上式可写成,其中(当)
图 21因,且不依赖于,故上式相当于①式,所以在点也就是可微得
由此可见,函数在点可微得充分必要条件就是
