第 2 课时 正弦定理和余弦定理的应用 考点一 正、余弦定理的实际应用【例 1】 (1)如图，某游轮在 A 处看灯塔 B 在 A 的北偏东 75°方向上，距离为 12 海里，灯塔 C 在 A 的北偏西 30°方向上，距离为 8 海里，游轮由 A 处向正北方向航行到 D 处时，再看灯塔 B，B 在南偏东 60°方向上，则 C 与 D 的距离为( ) A．20 海里 B．8 海里C．23 海里 D．24 海里(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度 CD＝________m.【解析】 (1)在△ABD 中，因为灯塔 B 在 A 的北偏东 75°方向上，距离为 12 海里，游轮由 A 处向正北方向航行到 D 处时，再看灯塔 B，B 在南偏东 60°方向上，所以 B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝，可得 AD＝＝＝24(海里)．在△ACD 中，AD＝24(海里)，AC＝8(海里)，∠CAD＝30°，由余弦定理得 CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝192.所以 CD＝8(海里)．(2)由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又 AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得 BC＝300(m)．在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan30°＝300×＝100(m)．【答案】 (1)B (2)100方法技巧求距离、高度问题应注意的问题1理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念；2选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.3确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.1．如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法是先选定适当的位置C，用经纬仪测出角 α，再分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离．即AB＝.若测得 CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，则 A，B 两点的距离为 200m.解析：在△ABC 中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280 000.∴AB＝200(m)．即 A，B 两点间的距离为 200 m.2．为了测量某新建的信号发射塔 AB 的高度，先取与发射塔底部 B 在同一水平面内的两个观测点 C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40...
