常微分课后答案第五章(28页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。 第五章 线性微分方程组§5.1 存在唯一性定理习题 5.1 1．给定方程组 ， ． （*）试验证，分别是方程组（*）的满足初始条件，的解；试验证是方程组（*）的满足初始条件的解，其中是任意常数．证明 ，显然．，，所以，分别是方程组（*）的满足初始条件，的解．，又，所以是方程组（*）的满足初始条件的解，其中是任意常数．2．将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：，，；，，，，；，，，，． （提示：令）解 设，则，，即与该初值问题等价的一阶方程组的初值问题为设，则，，，，则得等价的一阶方程组的初值问题为，．令，有 ，，为与原初值问题等价的一阶方程组的初值问题．3．试用逐步逼近法求方程组， 满足初始条件的第三次近似解．解 ，，，第三次近似解为 ．§5.2 线性微分方程组的一般理论习题 5.2 1．试验证是方程组，在任何不包含原点的区间上的基解矩阵．证明 设，，则由于，，所以都是方程组的解，因而是所给方程组的解矩阵．又由于在任何不包含原点的区间上，（），故是所给方程组的基解矩阵．2．考虑方程组， （5.15）其中是区间上的连续矩阵，它的元素为，．假如是（5.15）的任意个解，那么它们的Wronsky 行列式满足下面的一阶线性微分方程．（提示：利用行列式的微分公式，求出的表达式）；解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：，．证明 ，所以是一阶线性微分方程的解．由知，，分离变量后两边积分求解得，时就得到，所以，．3．设为区间上的连续实矩阵，为方程的基解矩阵，而为其一解．试证：对于方程的任一解必有常数；为方程的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵，使．证明 由于是方程的解，故有，为方程的解，故．所以 ，所以常数．“” 是方程的基解矩阵，因此，是方程的基解矩阵，故，且和．所以 ，故是常数矩阵，设，则，因此存在非奇异常数矩阵，使．“”若存在非奇异常数矩阵，使，则有，所以，即是非奇异矩阵或说的各列是线性无关的．又，并注意到，有，即．从而是方程的基解矩阵．4．设为方程（为常数矩阵）的标准基解矩阵（即），证明，其中为某一值．证明 由于为常数矩阵，故在有定义、连续，从而它的解也在连续可导．由为方程的基解矩阵，故，有，并且有，从而对某个，有，且，即亦为方程的基解矩阵．由推论 2*，存在一个非奇异常数矩阵，使得在区间上，．又因...
