专题 24.13 四点共圆（知识讲解）【学习目标】1.理解四点共圆的定义；2.掌握判断四点共圆的基本方法，并用于解决证明和计算问题。【要点梳理】四点共圆常用的方法有：1、对角互补的四边形，四点共圆；2、外角等于内对角的四边形，四点共圆；3、同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆；4、到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。【典型例题】类型一、四点共圆的判定1．如图，，分别是的高，求证：、、、四点共圆．【分析】取 AB 的中点 O，连接 DO、HO，根据 BD，AH 分别是△ABC 的高，可得△DAB 和△HAB 都是直角三角形，斜边都是 AB，而点 O 为斜边中点，则有 DO＝HO＝AB＝AO＝BO，也就是说以 O 为圆心、OA 为半径的圆，点 D、H、B 也在这个圆上，即可证明 A、B、H、D 四点共圆．证明：如图，取的中点，连接、， BD ，AH 分别是的高，和都是直角三角形，且它们的斜边都是， 点为斜边中点，，也就是说，点、、在以为圆心、为半径的圆上，即点、、、都在以为圆心、以为半径的圆上，故可得：、、、四点共圆．【点拨】本题考查了四点共圆，解答本题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得四点共圆．举一反三：【变式 1】 已知四边形 ABCD 为菱形，点 E、F、G、H 分别为各边中点，判断E、F、G、H 四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由． 【答案】点 E、F、G、H 四点是以 AC，BD 的交点 O 为圆心的同一个圆上，证明见分析.【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出 E、F、G、H 到 O 点距离都等于定长即可.解：如图，连接 AC，BD 相交于点 O，连接 OE，OF，OG，OH， 四边形 ABCD 是菱形，AB∴＝AD＝CD＝BC，ACBD⊥， 点 E 是 AB 的中点，OE∴＝AB，同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，OE∴＝OF＝OG＝OH，∴点 E、F、G、H 四点是以 AC，BD 的交点 O 为圆心的同一个圆上． 【点拨】本题主要考查了四点共圆的条件，用到了菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.【变式 2】如图，在 RtABC 中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC 绕 A 点顺时针旋转得到ADE，使 D 点落在 BC 边上．（1）求∠BAD 的度数；（2）求证：A、D、B、E 四点共圆． 【答案】（1）10°；（2）见分析【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得∠C 的度数，由旋转...
