专题探究课三 高考中数列不等式证明的热点题型高考导航 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识．热点一 数学归纳法证明数列不等式(规范解答)数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由特殊到一般的结论成立问题．因此，可以在数列不等式的证明中大显身手．【例 1】 (满分 15 分)(2018·绍兴检测)已知数列{an}满足，a1＝1，an＝－.(1)求证：≤an≤1；(2)求证：|an＋1－an|≤；(3)求证：|a2n－an|≤.满分解答 证明 (1)由已知得 an＋1＝，又 a1＝1，则 a2＝，a3＝，a4＝，猜想≤an≤1.2 分(得分点 1)下面用数学归纳法证明．① 当 n＝1 时，命题显然成立；② 假设 n＝k 时，有≤ak≤1 成立，则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝≤＜1，ak＋1＝≥＝，即当 n＝k＋1 时也成立，所以对任意 n∈N*，都有≤an≤1.5 分(得分点 2)(2)当 n＝1 时，|a2－a1|＝，当 n≥2 时，因为＝·＝1＋≥1＋＝，所以|an＋1－an|＝ ＝≤|an－an－1|≤…≤|a2－a1|＝·＜.综上所述，|an＋1－an|≤.10 分(得分点 3)(3)当 n＝1 时，|a2－a1|＝＝＜；当 n≥2 时，|a2n－an|＝|a2n－a2n－1＋a2n－1－a2n－2＋…＋an＋1－an|≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|an＋1－an|≤＝－≤－＝.综上，|a2n－an|≤.15 分(得分点 4) ❶ 得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为营”，求得满分．如(1)中，归纳猜想得 2 分；用数学归纳法证明得 3 分，第(2)放缩法证明结论得 5 分等．❷ 得关键分：解题过程不可忽略关键点，有则得分，无则没分．如(1)中的猜想，数学归纳法的两个步骤，(2)(3)中均分 n＝1，n≥2 加以推证等．❸ 得计算分：准确计算是得满分的基本保证．如(1)中 a2，a3，a4的正确计算，(2)(3)中放缩结果的计算等． 第一步：归纳猜想；第二步：用数学归纳法证明；第三步：验证 n＝1 时(2)的结论成立；第四步：用放缩法证明 n≥2 时(2)的结论成立；第五步：验证 n＝1 时(3)的结论成立．第六步：用放缩法证明 n≥2 时(3)的结论成立．【训练 1】 (2018·温州模拟)数列{an}的各项均为正数，且 an＋1＝an＋－1(n∈N*)，{an}的前 n 项和是 Sn.(1)若{an}是递增数列，求 a1的取值范围；(2)若 a1>2，且对任意 n∈N*，都有 Sn≥na1－(n－1)，证明：Sn<2n＋1....
