高三数学从2008年四川卷压轴题新解看函数在不等式中的应用

从 2008 年四川卷压轴题新解看函数在不等式中的应用福建省厦门外国语学校 吴育文卷首评价:对于四川卷的高考压轴题，在简单之中也并没有遗忘考查学生的能力，现在我就这题的非参考答案解法提出放缩要具有函数意识！已知 x=3 是函数 f(x)=aln(1+x)+x2－10x 的一个极值点。(Ⅰ)求 a 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间;(Ⅲ)若直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有三个交点,求 b 的取值范围.(2008 年四川卷 22 题) (压轴题) 解析:题目立足点基础,需要学生有强烈的数学构造意识！(1)因为 f(x)=aln(1+x)+x2－10x(x>－1) ,所以 f’(x)=+2x－10,又 x=3 是函数 f(x) 的一个极值点,所以 f’(3)=－16=0,从而 a=16(2)由(1)知 f’(x)=+2x－10=(x－1)(x－3),令 f’(x)>0 有－13 令 f’(x)<0 有 10),那么 g’(x)=,令 g’(x)>0 有 x>1,令 g’(x)< 0 有 01－(x>1) 所以,从而 也就是说 f(3)=16ln4－21>0,所以为使直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有三个交点,即 f(3)0,本解法的巧妙就在于构造了函数 g(x)=lnx+－1,运用函数的方法帮助放缩,使得难点迎韧而解！ Oyx(3)草图