2.6 双曲线及其方程2.6.1 双曲线的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1．通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养．2．借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率 e 有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见．如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容．1．双曲线定义一般地，如果 F1，F2是平面内的两个定点，a 是一个正常数，且 2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a 的动点 P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点 F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．思考 1：双曲线的定义中，若 2a＝|F1F2|，则点 P 的轨迹是什么？2a＞|F1F2|呢？[提示] 若 2a＝|F1F2|，点 P 的轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线；若 2a＞|F1F2|，点 P的轨迹不存在．思考 2：定义中若常数为 0，则点 P 的轨迹是什么？[提示] 此时 P 的轨迹为线段 F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x 轴y 轴标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c 的关系式c2＝a2＋b2思考 3：双曲线中 a，b，c 的关系如何？与椭圆中 a，b，c 的关系有何不同？[提示] 双曲线标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里 b2＝c2－a2，即 c2＝a2＋b2，其中 c>a，c>b，a 与 b 的大小关系不确定；而在椭圆中 b2＝a2－c2，即 a2＝b2＋c2，其中 a>b>0，a>c，c 与 b 的大小关系不确定．思考 4：如何确定双曲线标准方程的类型？[提示] 焦点 F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在 x 轴上，若 y2的系数为正，则焦点在 y 轴上．1．思考辨析(正确的打“...
