3．6 直线与平面、平面与平面所成的角 1.能用向量方法解决直线和平面所成角的计算问题． 2.理解二面角的概念．3．能够利用向量方法解决平面与平面所成角的问题．1．直线与平面所成角的求法设直线 l 与平面 α 所成角为 θ，直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，v 与 n所成的角为 θ1，则 sin θ＝cos θ1＝．2．二面角的相关概念(1)半平面：在一个平面上作一条直线，则这条直线将平面分成两部分，其中每部分都称为半平面．(2)二面角：从一条直线 l 出发的两个半平面 α，β 组成的图形叫作二面角，记为 α l - β．这条直线 l 称为这个二面角的棱，半平面 α，β 都称为这个二面角的面．(3)二面角的平面角：过二面角 αlβ 的棱 l 上任意一点 O 作垂直于棱 l 的平面，分别与两个面 α，β 相交得到两条射线 OA，OB，则∠AOB 称为二面角 αlβ 的平面角．约定平面角的度数在 0 ° ～ 180 ° 范围内．(4)度量：二面角的大小用它的平面角度量．3．二面角与平面法向量的关系设两平面 α，β 所成角为 θ，平面 α、β 的法向量分别为 n1、n2，n1与 n2所成的角为θ1.则 θ 与 θ1的关系为：θ＝，即|cos θ|＝.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )(2)若向量 n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝.( )(3)直线与平面所成角的范围为.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．若直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角是 150°，则 l1与 l2这两条异面直线所成的角等于( )A．30° B．150°C．30°或 150° D．以上均错答案：A3．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则直线 l 与平面 α 所成的角为( )A．30° B．60°C．120° D．150°答案：A4．已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．1答案：45°或 135° 求直线与平面所成的角 正三棱柱 ABC－A1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为 a，求 AC1与侧面 AB1所成的角．【 解 】 法 一 ： 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1，B1(0，a，a)．取 A1B1的中点 M，则M(0，，a)，连接 AM，MC1，有MC1＝，AB＝(0，a，0...
